Question

- Si al producto de dos números enteros positi-
vos le sumamos el menor de dichos números
tantas veces como el menor primo impar, y a
este resultado le sumamos el mayor de los nú-
meros, se obtiene 74, ¿cuál es la diferencia po-
sitiva entre los números?​

Answer 1

Respuesta:

La diferencia es 2.

Explicación paso a paso:

El menor primo impar es el 3. Recuérdese que el primer primo es el 2, que es el único primo par.

Ahora solo queda plantear las ecuaciones siguiendo el enunciado:

Sean a y b números enteros positivos donde a < b

$ab + a + a + a + b = 74\\\implies ab + 3a + b = 74\\ \implies b(a + 1) + 3a = 74$

$\implies b = \frac{74 - 3a}{a+1}$

Hacemos la división de los polinomios:

$\implies b=\frac{77}{a+1} - 3$

(Recuéredese: Dividendo / divisor = cociente + resto / divisor)

Sabemos que la b es un número entero positivo; por tanto a + 1 debe ser un divisor de 77.

Los divisores de 77 (= 7 x 11) son:

1, 7, 11, 77

Probemos:

a + 1 = 1 => a = 0

No seguimos, porque se supone que ambos números deben ser enteros positivos, y el cero no lo es (no es positivo).

a + 1 = 7 => a = 6

=> b = 11 - 3 = 8

Este sí cumple con las condiciones del problema.

a + 1 = 11 => a = 10

=> b = 7 - 3 = 4

No cumple porque hemos partido de que a < b

a + 1 = 77 => a = 76

=> b = 1 - 3 = -2

No cumple porque se debe cumplir 0 < a < b

En resumen, el único caso que cumple es

a = 6

b = 8

b -  a = 2