Question

Si al dividir 16! y 17! entre abc se obtuvo de residuos 23 y 70 respectivamente. calcule el residuo de dividir 18! entre abc

Answer 1

¡Buenas!

Al dividir 16! y 17! entre un número de tres cifras se obtuvo como residuo 23 y 70 respectivamente.

Este dato lo podemos interpretar de la siguiente manera.

$16! = \overline{abc}( \textrm{k} ) + 23 \\ \\ 17! = \overline{abc}( \textrm{q} ) + 70 \\ \\ \textrm{k}\ \Rightarrow\ \textrm{Es un n\'umero natural} \\ \\ \textrm{q}\ \Rightarrow\ \textrm{Es otro n\'umero natural}$

Nos piden calcular el residuo de dividir 18! entre el mismo número de tres cifras.

$18! = \overline{abc}( \textrm{p} ) + r \\ \\ \textrm{p}\ \Rightarrow\ \textrm{Es otro n\'umero natural} \\ \\ \textrm{Siendo "r" nuestra incognita, lo que nos piden hallar}$

$\boxed{ \textrm{Importante} } \\ \\ n! = n(n-1)(n-2)(n-3)\ ...\ 1 \\ \\ n! = n(n-1)! \\ \\ n! = n(n-1)(n-2)!$

Con estos datos podemos resolver el problema.

$17! = \overline{abc}( \textrm{q} ) + 70 \\ \\ \boxed{17! = 17 \cdot 16!} \\ \\ 17 \cdot 16! = \overline{abc}( \textrm{q} ) + 70 \\ \\ \boxed{16! = \overline{abc}( \textrm{k} ) + 23 } \\ \\ 17( \overline{abc}( \textrm{k} ) + 23 ) = \overline{abc}( \textrm{q} ) + 70 \\ \\ 17 \overline{abc}( \textrm{k} ) + 17(23) = \overline{abc}( \textrm{q} ) + 70 \\ \\ \overline{abc}( \textrm{q} ) - 17 \overline{abc}( \textrm{k} ) = 17(23) - 70 \\ \\ \overline{abc}(q-17( \textrm{k} )) = 321$

Este último paso que vamos a hacer es el más importante para resolver el problema, y lo que haremos será descomponer canónicamente 321, para hallar el valor del número de tres cifras.

$321 = 3 \times 107 \\ \\ \overline{abc}(q-17( \textrm{k} )) = 321 = 3 \times 107 \\ \\ \textrm{Una posibilidad} \\ \\ \overline{abc} = 107$

Quizá esta última parte pudo resultar un poco confusa, por ello voy a dar un explicación más detallada sobre ello.

Sabemos que q y k son números naturales, ademas por propiedad de números naturales sabemos:

$\mathbb{N} + \mathbb{N} = \mathbb{N}$

La suma de dos números naturales, resulta otro número natural.

$\mathbb{N} \times \mathbb{N} = \mathbb{N}$

El producto de dos números naturales, resulta otro número natural.

$\mathbb{N} - \mathbb{N} = \mathbb{Z}$

La diferencia de dos números naturales, resulta un número entero.

Debido a que el número de tres cifras $\overline{abc}$ es un número natural, entonces q - 17k debe ser un número entero y además positivo para que el producto sea el número positivo 321.

y al descomponer canónicamente, encontramos el producto de un número de tres cifras, el cual es 107 y otro número, el cual es 3. por tanto:

$\overline{abc} = 107 \\ \\ q - 17( \textrm{k} ) = 3$

Ahora aprovechemos esto para encontrar r

A partir de aquí usaremos teoremas acerca de la divisibilidad para hallar el residuo, estaré añadiendo los teoremas más importantes para hallar el residuo.

$\textrm{D = dq + r}\ \ \ ( \textrm{r} < \textrm{d})$

$\textrm{D} = \hat{\textrm{d}} + r$

$\hat{\textrm{d}} \Rightarrow \textrm{m\'ultiplo de "d"}$

Propiedades de los múltiplos

$\hat{ \textrm{d} } + \hat{ \textrm{d} } = \hat{ \textrm{d} } \\ \\ \hat{ \textrm{d} } - \hat{ \textrm{d} } = \hat{ \textrm{d} } \\ \\ \mathbb{Z} \times \hat{ \textrm{d} } = \hat{ \textrm{d} } \\ \\ \mathbb{Z}\ \Rightarrow \textrm{un n\'umero entero}$

Ejemplos:

Halle el residuo de dividir 508 entre 5.

recordar que en toda división el residuo siempre es menor que el divisor (r < d)

$508 \div 5 \\ \\ 508 = 5( \textrm{q} ) + \textrm{r} \\ \\ 508 = \hat{5} + 3 \\ \\ \hat{5} + 3 = 5( \textrm{q} ) + \textrm{r} \\ \\ 5( \textrm{q} ) \Rightarrow \textrm{multiplo de 5} \\ \\ \hat{5} + 3 = \hat{5} + r \\ \\ r = 3$

Ahora vamos a seguir con nuestra resolución.

$18! = \overline{abc}( \textrm{p} ) + r \\ \\ 18! = 107( \textrm{p} ) + r \\ \\ 18(17!) = 107( \textrm{p} ) + r \\ \\ \boxed{17! = 107( \textrm{q} ) + 70} \\ \\ 18(107( \textrm{q} ) + 70) = 107(p) + r \\ \\ 18( \hat{107} + 70) = \hat{107} + r \\ \\ 18( \hat{107} ) +18(70) = \hat{107} + r \\ \\ \hat{107} + 18(70) = \hat{107} + r \\ \\ \boxed{18(70) = 1260 = 107(11) + 83} \\ \\ \boxed{18(70) = 1260 = \hat{107} + 83} \\ \\ \hat{107} + \hat{107} + 83 = \hat{107} + r \\ \\ \hat{107} + 83 = \hat{107} + r$

$\textrm{r} = 83$

Notemos que el residuo es menor que el divisor

$83 < 107$

Lo cual nos confirma que el resultado es correcto.

RESPUESTA

$\boxed{83}$