Question

Si a y b son numeros distintos de cero que cumplen las ecuaciones a^{2} +a=2b^{2} +b=50a-49b ¿cuanto vale a+b?

24
49
25
74

Answer 1

Sea la ecuación:

a² + a = 2b² + b = 50a - 49b

Partiendo de:

a² + a = 50a - 49b
a² + a - 50a = - 49b
a² - 49a = - 49b, despejamos a b:
b = -0.02 a² + a (I)

2b² + b = 50a - 49b
2b² + b + 49b = 50a
2b² + 50b = 50a, despejamos a a:
$\frac{2b^{2}+ 50b }{50}=a$
a = 0.04b²+b (II)

En la ecuación a² + a = 2b² + b, sustituiremos a:

(0.04b²+b)² + 0.04b²+b = 2b² + b

1.6 × $10^{-3} b^{4}$ + 0.08$b^{3}$+b²+0.04b²+b = 2b² + b

1.6 × $10^{-3} b^{4}$ + 0.08$b^{3}$ + 1.04b²+b = 2b² + b

b × (1.6 × $10^{-3} b^{3}$+ 0.08$b^{2}$+1.04b+1) = b×(2b + 1)

1.6 × $10^{-3} b^{3}$ + 0.08$b^{2}$+1.04b = 2b

1.6 × $10^{-3} b^{2}$ + 0.08b+1.04 = 2

Se obtiene:
b = 10
b = -60

Sustituyendo en II:
a = 0.04b²+b,
Si b = 10: a = 14
Si b = -60: a = 84

En la ecuación principal:

Caso 1: (14)² + 14 = 2×(10)² + 10 = 50×14 - 49×10
210 = 210 = 210

Caso 2: (84)² + 84 = 2×(-60)² - 60 = 50×84 - 49×-60
7140 = 7140 = 7140

Entonces:
a+b = 14+10 = 24
a+b = 84 - 60 = 24

Answer 2

Si a ≠ b ≠ 0

 

a² + a=2b² + b = 50a - 49b

 

Se colocan los términos con igual incógnita a un solo lado de la igualdad:

 

a² +a - 50a = 2b² +b + 49b

 

a² – 49a = 2b² + 50b

 

Para hallar el valor de a y el valor de b, se utiliza la ecuación de segundo grado, para obtener los valores de las raíces:

 

ver imagen 1

Se calcula primero para obtener a:

 

ver imagen 2

 

a= 49, la otra raíz es nula.

 

Se calcula ahora para obtener b:

 

ver imagen 3

 

b= -25, la otra raíz es nula.

 

Ahora se halla a+b:

 

49 + (-25) = 49 – 25 = 24

 

El valor solicitado es a + b = 24; que es la primera opción