Question

Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b-a es:

a) -1
b) 0
c) 1
d) a² + a
e) 2a + 1

Answer 1

Respuesta:

c) y e)

Explicación paso a paso:

Caso 1 (opción a y b)

$a<b\\a-b<0, ~~~~~si~se~multiplica~todo~por~(-1)\\b-a>0, ~~~~~por~lo~tanto~se~descarta~a~y ~b$

Caso 2 (opción d)

se iguala a la respuesta y se despeja b

$b-a=a^2+a\\b=a^2+2a$

pero, si se recuerda que tienen que ser dos enteros consecutivos entonces se tiene que respetar la relación

$b=a+1$

igualando las ecuaciones

$a^2+2a=a+1\\a^2+2a-a-1=0\\a^2+a-1=0$

aplicando la ecuación de segundo grado  $\left[ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right]$

$a_{(1,2)}=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2(1)}\\a_{(1,2)}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\\a_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\\a_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$

sin embargo, como se puede notar, ambas respuestas de a son decimales por lo que no se pueden utilizar esta opción como respuesta

Caso 3 (opción c y e)

- opción e)

se hace lo mismo que en el caso 2

$b-a=2a+1\\b=3a+1$

y se iguala a la relación $b=a+1$

$3a+1=a+1\\3a-a+1-1=0\\2a=0\\a=0$

si se reemplaza a=0 en la ecuación original se puede notar que b=1, estos son los dos enteros sucesivos

- opción c)

comprobar la opción c es más intuitivo que las anteriores, se realiza el mismo paso inivial y se iguala b-a a la respuesta

$b-a=1\\b=a+1$

Notese que la opción e también satisface la opción c