Question

Si a un polígono se le aumenta 3 lados, la cantidad total de diagonales que tiene aumenta en 15. ¿de que polígono se trata?

Answer 1

Respuesta:

El polígono inicial es un pentágono (5 lados),  y el polígono que se obtiene al aumentarle  3 lados es un octágono(8 lados.)

Explicación paso a paso:

Para resolver este problema utilizaremos la fórmula del número de diagonales de un polígono

$D=\frac{N(N-3)}{2}$      D=n° de diagonales ,  N=n° de lados del polígono

Sea x= n° de lados del polígono inicial

      y= n° de diagonales del polígono inicial

      x+3= n° lados del polígono que se obtiene al aumentarle 3 lados

      y+15=  n° de diagonales del polígono que se obtiene

Sustituyendo estas variables en la fórmula de las diagonales , nos queda:

$y=\frac{x(x-3)}{2}$   ecuación 1  (   polígono inicial)  

$y+15=\frac{x+3((x+3)-3)}{2}$    ecuación 2 (  polígono que se obtiene)

Sustituimos el valor de "y" de la ecuación 1 en la ecuación 2 e igualamos ambas ecuaciones

   $y+15=\frac{(x+3)((x+3)-3)}{2}\\\\\frac{x(x-3)}{2}+15=\frac{(x+3)(x+3-3)}{2}\\\\\frac{x^{2} -3x}{2}+15= \frac{(x+3)(x)}{2}\\\\\frac{x^{2} -3x}{2}- \frac{(x+3)(x)}{2}=-15\\\\\frac{x^{2} -3x-(x^{2} +3x)}{2}=-15\\\\\frac{x^{2} -3x-x^{2} -3x}{2}=-15\\-6x=-15.(2)\\-6x=-30\\x=\frac{-30}{-6} \\x=5$

x=5 es el número de lados del polígono inicial , se trata de un pentágono

si al pentágono le aumentamos 3 lados obtendremos un polígono de 8 lados, es decir; un octágono ( x+3=8)

veamos cuantas diagonales tiene cada polígono sustituyendo el número de lados en la formula de las diagonales

El pentágono: $D=\frac{N(N-3)}{2}= D=\frac{5(5-3)}{2}=\frac{5.(2)}{2}= 5$  ( tiene 5 diagonales)

El octágono: $D=\frac{8(8-3)}{2}= D=\frac{8(8-3)}{2}= \frac{8.(5)}{2} =20$    ( tiene 20 diagonales)

Con esto queda comprobado que al aumentar tres lados al pentágono el número de diagonales del nuevo polígono aumenta en 15

5+15=20