Question

si A es diagonalizable, demostrar que A^k es diagonalizable con k perteneciente a los enteros positivos. ¿Cómo demuestro eso?

Answer 1

Si A es diagonalizable entonces existe una matriz M no singular tal que

A = M D M*

donde 
M* es la inversa de M
D es la matriz diagonal semejante a la matriz A

      $A^2 = AA=(MDM^*)(MDM^*)\\ \\ A^2 = MD(M^*M)DM^*\\ \\ A^2 = MD(I)DM^*\\ \\ A^2 = M(DI)DM^*\\ \\ A^2 = MDDM^*\\ \\ A^2 = M(DD)M^*\\ \\ A^2 = MD^2M^*$

De forma análoga se puede mostrar que  $A^k = MD^kM^*$
donde $D^k$ es una matriz diagonal. Con lo cual termina la prueba.