Question

Si a + b = 10 y ab = 9, entonces el valor de (a^2 + 8ab + b^2 ) es:

Answer 1

Es posible construir un sistema de ecuaciones con las dos ecuaciones dadas:

$\left \{ {{a+b=10} \atop {a*b=9}} \right.$

Si despejamos b de la segunda ecuación:

$b=\frac{9}{a}$

Si sustituimos en la primera ecuación del sistema:

$a+\frac{9}{a}=10$

Multiplico por "a" a ambos lados para eliminar el denominador:

$a^{2}+9=10a$

Llevo todo al lado izquierdo de la ecuación:

$a^{2}-10a+9=0$

Probaré resolver la ecuación factorizando. Buscaré dos números que sumados den -10 (el número que acompaña a la "a" sin exponente) y multiplicados den +9 (el número sin la variable "a"). Esos números son -9 y -1.

Factorizaré la ecuación cuadrática:

$(a-1)(a-9)=0$

Luego, buscamos para que valores de "a" vuelve cero la multiplicación:

Caso 1: Pasaré (a-9) a dividir al 0, eso me dará:

$a-1=\frac{0}{a-9} \\a-1=0\\a=1$

Ya obtuve el primer valor posible de "a"

Si sustituyo dicho valor en la ecuación en negritas, me dará (1-1)(1-9)=0

Luego, 0*(-8)=0

Luego, 0=0. Por lo tanto, ese valor de "a" hace que se cumpla la igualdad.

Como $b=\frac{9}{a}$, entonces el valor de "b" para a=1 será:

$b=\frac{9}{1}$

$b=9$

Entonces un posible valor de b es

Caso 2: Pasaré (a-1) a dividir al 0, eso me dará:

$a-9=\frac{0}{a-1} \\a-9=0\\a=9$

Reviso si con ese valor de "a" se cumple la igualdad:

(9-1)(9-9)=0

(8)*0=0

0=0

Se cumple la igualdad, por lo tanto, a=9 es otro valor posible de a.

Como $b=\frac{9}{a}$, entonces el valor de "b" para a=9 será:

$b=\frac{9}{9}$

$b=1$

Por lo tanto, los posibles valores de $a^{2} +8ab+b^{2}$ son dos:

• Caso 1: Si a=1 y b=9

$1^{2}+8*1*9+9^{2}\\=1+72+81\\=154$

• Caso 2: Si a=9 y b=1

$9^{2}+8*9*1+1^{2}\\=81+72+1\\=154$

En conclusión:

Si a+b=10 y ab=9, entonces $a^{2} +8ab+b^{2}$=154