Question

Si 4x+9=un multiplo de 11 halla los 3 primeros enteros positivos

Answer 1

Respuesta:

Los tres primeros enteros positivos que se producen por la expresión 4x + 9 tal que éstos son múltiplos de 11, son: 33 (x = 6), 77 (x = 17) y 121 (x = 28)

Explicación paso a paso:

Usaremos aritmética modular:

Si 4x + 9 = múltiplo de 11, entonces:

4x + 9 ≡ 0 (módulo 11)

4x ≡ -9 (módulo 11)

4x ≡ 2 (módulo 11)

Ahora la pregunta se reduce a lo siguiente:

Encuentra x tal que 4x ≡ 2 (módulo 11)

Observaremos unos ejemplos probando con números en la x:

(x = 1)

4 · 1 ≡ 4 (módulo 11)

(x = 2)

4 · 2 ≡ 8 (módulo 11)

(x = 3)

4 · 3 ≡ 12 (módulo 11) ≡ 1 (módulo 11)

(x = 4)

4 · 4 ≡ 16 (módulo 11) ≡ 5 (módulo 11)

(x = 5)

4 · 5 ≡ 20 (módulo 11) ≡ 9 (módulo 11)

(x = 6)

4 · 6 ≡ 24 (módulo 11) ≡ 2 (módulo 11)

(con x = 6 obtenemos la primera solución)

...

Si siguiéramos probando, llegaríamos a la conclusión de que todo x que se puede expresar como 11k - 5 (donde k es un número natural), satisface la expresión: 4x ≡ 2 (módulo 11)

Por tanto las 3 primeras x que satisfacen la ecuación:

4x + 9 = múltiplo de 11

son:

(k = 1)

11k - 5 = 6 = x (1)

(k = 2)

11k - 5 = 17 = x (2)

(k = 3)

11k - 5 = 28 = x (3)

Por tanto, los tres primeros enteros positivos que se producen son:

x (1) => (x = 6)

4x + 9 = 33

x (2) => (x = 17)

4x + 9 = 77

x (3) => (x = 28)

4x + 9 = 121