Question

Si 4 elevado a la (k+2) - 4 elevado a la(k) tiene 92 divisores, halla el valor de "k".

Answer 1

Respuesta:

$\mathsf{ k= 11}$

Explicación paso a paso:

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Si se tiene la descomposición de un número en factores primos:

$\mathsf{ a^{\alpha} \cdot b^{\beta} \cdot c^{\gamma} \cdot ...}$

Entonces , la cantidad de de divisores (CD) de ese número es :

$\mathsf{( \alpha + 1)(\beta + 1)(\gamma + 1) ... }$

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Si 4 elevado a la (k+2) - 4 elevado a la(k)

$\mathsf{ 4^{k+2} - 4^k }$

$\mathsf{ 4^k \cdot 4^2 - 4^k }$

$\mathsf{ 4^k ( 4^2 - 1) }$

$\mathsf{ (2^2)^k ( 16 - 1) }$

$\mathsf{ 2^{2k} (15) }$

$\mathsf{ 2^{2k} \cdot 3^1 \cdot 5^1 }$

Tiene 92 divisores:

$\mathsf{ (2k+1)(1+1)(1+1) = 92}$

$\mathsf{ (2k+1)(2)(2) = 92}$

$\mathsf{ (2k+1)(4) = 92}$

$\mathsf{ (2k+1) = 23}$

$\mathsf{ 2k= 23-1}$

$\mathsf{ 2k= 22}$

$\mathsf{ k= 11}$