¿Si 3 y 4 son divisores de 12, ¿Significa esto que un número que es divisible entre 12, lo es también con 3 y 4? Escribe una expresión algebraica que demuestre esto.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Muy buenas tardes!
Primero partamos de la definición de divisibilidad:
'n' divide a 'm' si el resultado de dividir 'm' entre 'n' es un entero. Es decir:
n divide a m (lo notamos cómo n | m) si y solo si existe un entero 'k' tal que:
m = nk
3 | 12 porque existe un entero 'k' tal que:
12 = 3k , en este caso k = 4
De igual forma, 4 | 12 porque existe 'k' tal que:
12 = 4k , k = 3
Entonces, supongamos por hipótesis que 12 | n. Esto implica que existe un entero 'k' tal que n = 12k
• 4 | n
Demostración:
4 | n si y solo sí existe un entero 'a' tal que:
n = 4a
Sabemos que existe un entero 'k' tal que n = 12k, por lo que n = 3 • 4 • k = 4(3k)
Por lo tanto, tomamos: a = 3k, dado que 3 y 'k' son ambos enteros, y los enteros son cerrados bajo el producto, 'a' también será un entero y verifica que n = 4a, por lo que 4 | n
• 3 | n
Demostración:
Similar al caso anterior, hacemos una manipulación algebraica de la igualdad de la hipótesis:
n = 12k → n = 3(4k)
Tomamos 'b' = 4k, dado que los enteros son cerrados bajo el producto, 'b' es un entero, y verifica que existe 'b' tal que n = 3b, por lo que 3 | n
Saludos! :)