Estadística y Cálculo, pregunta formulada por karita12, hace 1 año

serian tan ambles de ayudarme con estos ejercicios

* Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x^2 ) (x-3)

* Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.

Respuestas a la pregunta

Contestado por gedo7
5

RESPUESTA:

Para hallar los puntos máximos y mínimos tenemos buscar la primera y segunda derivada.

f(x) = x²·(x-3)

f'(x) = 2x·(x-3) + x² = 2x² - 6x + x² = 3x² -6x

f''(x) = 2(x-3) + 2x + 2x = 6x - 6

Ahora, para los puntos máximos y mínimos debemos igualar a cero la primera derivada.

3x² - 6x = 0

x(3x-6) = 0

  • x₁ = 0
  • x₂ = 2

Tenemos dos puntos críticos, veamos si son máximo o mínimos. Evaluamos en la segunda derivada.

  • f''(0) = 6(0) - 6 = -6 ( - máximo)
  • f''(2) = 6(2) - 6 = 6  (+ mínimo)

Por tanto, en x = 0 tenemos un máximo y en x = 2 tenemos un mínimo. Procedemos a buscar la otra coordenada.

  • f(0) = 0²·(0-3)  = 0
  • f(2) =  2²·(2-3) = -4

M(0,0) y m(2,-4)

Ahora el punto de inflexión viene dado por la segunda derivada igualada a cero, tenemos:

6x - 6 = 0

x = 1

Por tanto, en x = 1 hay un punto de inflexión. Buscamos la otra coordenada.

f(1) = 1²·(1-3)  = -2

PI ( 1,-2) → Punto de inflexión.

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Para este problema debemos buscar de la ecuación de volumen cuando la caja es armada, tenemos:

V = (6-2x)·(4-2x)·x

Para que el volumen se máximo debemos derivar e igualar a cero, tenemos:

V = (24x-20x² + 4x³)

dV/dx = 24 - 40x + 12x²

0 = 24 - 40x + 12x²

Aplicamos la resolvente y tenemos que:

  • x₁ = 2.54
  • x₂ = 0.78

Seleccionamos la altura menor porque es la más coherente.

  • base = 6 -1.56 = 4.44
  • ancho = 4- 1.56 = 2.44
  • alto = 0.78
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