Question

señale el coeficiente de x^4 en la expresión F(x)=1/[1+3x-2x^2]
A)1 B)-31 C)11 D)-39 E)31

Answer 1

el termino general de la expansión del binomio de newton es

$t_{k+1}=\dbinom{n}{k}x^{n-k}.a^{k} \ ;n\geq k ; \ k=Natural$

acomodamos

$F(x)=\dfrac{1}{1+(3x-2x^{2})}=[1+(3x-2x^{2})]^{-1}$

nos pide  el coeficiente de x^4 en la expresión ,entonces la parte variable de un termino tiene que ser solamente x^4

$t_{k+1}=\dbinom{-1}{k}1^{-1-k}.(3x-2x^2)^{k}$

$t_{k+1}=\dbinom{-1}{k}(3x-2x^2)^{k}$

este factor $(3x-2x^{2} )^{k}$ también podemos aplicar el termino general

$t_{p+1}=\dbinom{k}{p}(3x)^{k-p}.(-2x^{2})^{p}$

el termino que nos pide tendrá la forma:

$T=\dbinom{-1}{k}.\dbinom{k}{p}(3x)^{k-p}.(-2x^{2})^{p}$

$T=\dbinom{-1}{k}.\dbinom{k}{p}.3^{k-p}(-2)^{p}.x^{k+p}$

por la condición del problema $k+p=4$

los valores que satisfacen son :

(k=2 p=2; k=3 p=1 ; k=4 p=0)

remplazando

$T=\dbinom{-1}{k}.\dbinom{k}{p}.3^{k-p}(-2)^{p}.x^{k+p}+\dbinom{-1}{k}.\dbinom{k}{p}.3^{k-p}(-2)^{p}.x^{k+p}+\dbinom{-1}{k}.\dbinom{k}{p}.3^{k-p}(-2)^{p}.x^{k+p}$

$T=\dbinom{-1}{2}.\dbinom{2}{2}.3^{2-2}(-2)^{2}.x^{2+2}+\dbinom{-1}{3}.\dbinom{3}{1}.3^{3-1}(-2)^{1}.x^{3+1}+\dbinom{-1}{4}.\dbinom{4}{0}.3^{4-0}(-2)^{0}.x^{4+0}$

$T=31.x^{4}$

$\mathbb{AUTOR}:SmithValdez$