Question

sen5x + sen3x + senx/ cos5x + cos3x + cosx​

Answer 1

Explicación paso a paso:

Hola,

[senx + sen(3x) + sen(5x)] /[cosx + cos(3x) + cos(5x)] = tan(3x)

sabemos que tan(3x) = sen(3x) /cos(3x):

{[sen(5x) + senx] + sen(3x)} /{[cos(5x) + cosx] + cos(3x)} = sen(3x) /cos(3x)

apliquemos (tanto a [sen(5x) + senx] como a [cos(5x) + cosx]) las fórmulas de suma a producto:

senα + senβ = 2sen[(α + β)/2] cos[(α - β)/2]

cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2] cos[(α - β)/2]:

{2sen[(5x + x)/2] cos[(5x - x)/2] + sen(3x)} /{2cos[(5x + x)/2] cos[(5x - x)/2] + cos(3x)} = sen(3x) /cos(3x)

{2sen[(6x)/2] cos[(4x)/2] + sen(3x)} /{2cos[(6x)/2] cos[(4x)/2] + cos(3x)} = sen(3x) /cos(3x)

[2sen(3x) cos(2x) + sen(3x)] /[2cos(3x) cos(2x) + cos(3x)] = sen(3x) /cos(3x)

saquemos sen(3x) en el numerador y cos(3x) en el denominador:

{sen(3x) [2cos(2x) + 1]} /{cos(3x) [2cos(2x) + 1]} = sen(3x) /cos(3x)

(simplificando)

sen(3x) /cos(3x) = sen(3x) /cos(3x) (demostrada)

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!