Question

Según una encuesta realizada sobre una muestra de 250 estudiantes elegidos al azar de una universidad, se observó que 50 de ellos vivían en una pensión.
a) ¿Podemos afirmar que el 15% de los estudiantes de la universidad vive en una pensión? Use un nivel de confianza de 95%.
b) Determine con un 99% de confianza, entre que valores estará la verdadera proporción de estudiantes que viven en una pensión en la universidad.

Answer 1

Solución: no se puede afirmar con un nivel de confianza de 95% que un 15% de los estudiantes vive en la pensión y se puede afirmar que entre el 13.56% y 26.44% de los estudiantes viven en una pensión.

¿Por qué?

Distribución binomial: en este caso tenemos una distribución binomial, donde se considera un éxito el vivir en una pensión y un fracaso no hacerlo. Podemos llevar dicha distribución normal, pues es independiente y aleatoria, cuya ecuación de intervalos de confianza es:

p'±Z*$\sqrt{\frac{p'(1-p')}{n} }$

Donde p' es proporción muestral y Z* es el valor dado por la tabla de la distribución normal. y n es el tamaño de la muestra

Encontramos la proporcional muestral: de 250 estudiantes, 50 viven en pensión

$p' = \frac{50}{250} = 0.2$

Para el caso de 95% de confianza: usando la tabla de la distribución normal, determinamos que Z* = 1.96. Por lo tanto el intervalo de confianza es:

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2')}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.2(0.8)}{250} }$

0.2±1.96*$\sqrt{\frac{0.16}{250} }$

0.2±1.96*0.025

(0.151,0.249)

Si observamos lo observado es un intervalo de confianza no se puede afirmar que el 15% los estudiantes viven en una universidad.

b) Determine con un 99% de confianza, entre que valores estará la verdadera proporción de estudiantes que viven en una pensión en la universidad.

Usamos el intervalo de confianza: para este caso Z* =2.576. Por lo tanto el intervalo de confianza es:

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2')}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(1-0.2)}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.2(0.8)}{250} }$

0.2±2.576*$\sqrt{\frac{0.16}{250} }$

0.2±2.576*0.025

(0.1356,0.2644)

Podemos afirmar con un 99% de confianza que entre 13.56% y 26.44% de los estudiantes viven en una pensión.

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