Question

Según un proyecto, un túnel de una autopista va a tener la forma de un semicírculo con diámetro de 12m. Encontrar una ecuación para el semicírculo y determinar el espacio libre vertical en un punto de 4m de la línea central.

Answer 1

Si asumimos que el origen de coordenadas xy está ubicado en el punto medio del diámetro del túnel, su ecuación es:    $y=\sqrt{36-x^{2} }$  y el espacio libre vertical en un punto de 4 m de la línea central es de  √20 m.

Explicación paso a paso:

Vamos a suponer que el túnel es la mitad superior de una circunferencia centrada en el origen y de radio 6 m, como se muestra en la figura anexa.

La ecuación canónica de una circunferencia de radio = r  y centro en un punto de coordenadas (h, k) es:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

En el caso que nos ocupa:

$x^{2}+y^{2}=36$

El túnel es la mitad superior, es decir la ecuación correspondiente al despeje de la variable  y  de signo positivo:

Ecuación del túnel:    $y=\sqrt{36-x^{2} }$

Si nos desplazamos de la linea central (eje y) 4 m, el espacio libre vertical viene dado por:

$y_{(4)}=\sqrt{36-(4)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ m