Según el departamento de ventas de una empresa, los ingresos en dólares por vender a toneladas de alimento se determina mediante I(q)=-0,1q^ 2 +450q Además, los costos semanales C en dólares por producir q toneladas de alimento se define según C(q) = 150q + 150000 Determine la máxima utilidad
Respuestas a la pregunta
Del departamento de ventas de una empresa, la máxima utilidad que esta genera por la producción y venta de toneladas de alimentos es:
$75000
¿Qué es la utilidad?
La ganancia o utilidad se define como la diferencia entre los ingresos y los costos.
U = I - C
Siendo;
- Los ingresos son el producto del precio de la venta de un producto por la cantidad vendida.
I = p × q
- Los costos son el precio de producir cada producto por la cantidad de productos. El costo puede ser la suma de costos variables y fijos.
C = Cf + Cv
¿Cómo obtener máximos y mínimos?
Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.
Criterio de la segunda derivada:
- Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
- Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.
¿Cuál es la utilidad máxima?
Siendo;
- Ingreso: I(q) = -0.1q² + 450q
- Costo: C(q) = 150q + 150000
Sustituir en U(q);
U(q) = -0.1q² + 450q - 150q - 150000
U(q) = -0.1q²+ 300q - 150000
Aplicar primera derivada;
U'(q) = d/dq( -0.1q²+ 300q - 150000)
U'(q) = -0.2q + 300
Aplicar segunda derivada;
U''(q) = d/dq(-0.2x + 300)
U''(q) = - 0.2 ⇒ Máximo relativo
Igualar a cero a primera derivada;
-0.2q + 300 = 0
q = 300/0.2
q = 1500
Evaluar q = 1500 en U(q);
Umax = -0.1(1500)²+ 300(1500) - 150000
Umax = $75000
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