Question

(secx+sen^2x+cos^2x)(secx-1)=tan^2x

Answer 1

(sec(x) + sen²(x) + cos²(x)) (sec(x) - 1) = tan²(x)

Existe una identidad que dice:
sen²(x) + cos²(x) = 1

Entonces

(sec(x) + 1)(sec(x) - 1) = tan²(x)
sec²(x) - 1 = tan²(x)

Reemplazamos
$\frac{1}{cos^{2} (x)} - 1 = tan^{2}(x)\\ \\ \frac{1 - cos^{2} (x)}{cos^{2} (x)} = \: {tan}^{2}(x) \\ \\ \frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)} = tan^{2}(x)$

Sabemos que:
$\frac{sen(x)}{cos(x)} = tan(x)$

Entonces:
$tan^{2}(x) = tan^{2}(x) \\ \\ lqqd$

Answer 2

$\underline{hola}$
$( \sec(x) + \sin(x) {}^{2} + \cos(x) {}^{2} )( \sec(x) - 1) = \tan(x) {}^{2}$
$\textrm{lo \: que \: yo \: hare \: sera \: primero} \\ \textrm{acomodar \: los \: terminos} \\ \textrm{despues \: de \: eso \: hare \: las \: } \\ \textrm{siguientes \: relaciones}$
$\sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \tan(x) {}^{2} = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} } \\ \sin(x) {}^{2} = 1 - \cos(x) {}^{2} \\ \cos(x) {}^{3} = \cos(x) - \cos(x) \sin(x) {}^{2}$

$( \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } )( \frac{1}{ \cos(x) } - 1 ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} }$

Lo explicaré por partes, primero resolvamos:

$\frac{1}{ \cos(x) } - 1 \\ \frac{1}{ \cos(x) } - \frac{1}{1} = \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } \\ \textrm{si \: tienes \: dudas \: de \: como \: sale} \\ \textrm{te \: explico \: brevemente} \\ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$

Bueno, teniendo dicho resultado, lo ponemos en en nuestro problema:

$\frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } ( \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} }$

Ahora, volvamos a ir por partes:

$\cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } \\ \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} \\ \frac{ \cos(x) {}^{2} }{1} + \frac{ \sin(x) {}^{2} }{1} = \frac{ \cos(x) {}^{2} \sin(x) }{1} \\ \frac{ \cos(x) {}^{2} \sin(x) {}^{2} }{1} + \frac{1}{ \cos(x) } \\ \frac{1 + \cos(x) {}^{2} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) }$

Tendremos pues:

$( \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } )( \frac{1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) } ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} }$

Me centrare en la multiplicación, recuerda que cuando es Multiplicacion de Fracciones, dicha Multiplicacion se efectuará de manera directa:

$( \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } )( \frac{1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) } ) \\ \frac{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ (\cos(x))( \cos(x) ) }$

Tendremos pues:

$\not\cos(x) {}^{2} ( \frac{(1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin( x) )}{ \not \cos(x) {}^{2} } = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \not \cos(x) {}^{2} } )$

Ya habiendo eliminado el denominador, nos queda:

$(1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} ) = \sin(x) {}^{2} \\ (1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) - \not{\cos(x) \sin(x) {}^{2} + \not \cos(x) \sin(x) {}^{2} } ) = \sin(x) {}^{2} \\ (1 - \cos(x)) (1 + \cos(x) ) = \sin(x) {}^{2} \\ 1 - \cos(x) {}^{2} = \sin(x) {}^{2} \\ 1 - \cos(x) {}^{2} = 1 - \cos(x) {}^{2} \textrm{ \: y \: tambien}\\ \sin(x) {}^{2} = \sin(x) {}^{2}$

Por lo que la Identidad es:

$\boldsymbol{verdadera}$

Espero haberte ayudado,

SALUDOS CORDIALES, AspR178 !!! ✌️^_^⭐

# Que largo problema jajaja