Question

Sean u,v y w vectores en R^3. Demuestre que

u×(v×w)=(u∙w)∙v-(u∙v)∙w

Answer 1

La demostración pedida no es cierta: el lado derecho de la igualdad pertenece a R³ y el izquierdo a R

Tenemos que queremos demostrar: u x (v x w)=(u*w)*v-(u*v)*w ​

Como los vectores estan en R³ hacemos:

• u= ( x1,y1,z1 )
• v =( x2,y2,z2 )
• w= ( x3,y3,z3)

Por partes:

(u∙w)∙v-(u∙v)∙w =  ((x1,y1,z1 )*( x3,y3,z3))*(x2,y2,z2) - ((x1,y1,z1 )*( x2,y2,z2))*( x3,y3,z3)

Realizando el producto punto:

= (x1,y1,z1 )*( x2*x3+y2*y3+z2*z3) - (x1*x2+y1*y2+z1*z2)*( x3,y3,z3)

 

Volvemos a aplicar producto punto:

 x1*x2*x3 +x1*y2*y3+x1*z2*z3 +y1*x2*x3+y1*y2*y3 +y1*z2*z3+ z1*x2*x3+z1*y2*y3+z1*z2*z3 - x1*x2*x3 - y1*y2*x3 -z1*z2*x3- x1*x2*y3 - y1*y2*y3 -z1*z2*y3 - x1*x2*z3 - y1*y2*z3 -z1*z2*z3

En negrita los términos que se eliminan

= x1*y2*y3+x1*z2*z3 +y1*x2*x3+y1*z2*z3+ z1*x2*x3+z1*y2*y3 - y1*y2*x3 -z1*z2*x3- x1*x2*y3  -z1*z2*y3 - x1*x2*z3 - y1*y2*z3  ∈ R

Luego encontramos el otro lado de la ecuación:

En la imagen adjunta podemos ver que si tenemos los vectores:

(u1,u2,u3) y (v1,v2,v3) entonces: (u1,u2,u3) x (v1,v2,v3)

= (u2v3- v2u3, v1u3 - u1v3, u1v2 - v1u2)

u×(v×w)= (x1, y1, z1) x ((x2, y2, z2) x (x3, y3, z3)

= (x1, y1, z1) x (y2*z3 - y3*z2, x3*z2 - x2*z3, x2*y3 - x3*y2)

Para mayor facilidad de calculo llamarenos:

(y2*z3 - y3*z2, x3*z2 - x2*z3, x2*y3 - x3*y2) = (a,b,c)

(x1, y1, z1) x (y2*z3 - y3*z2, x3*z2 - x2*z3, x2*y3 - x3*y2)

(x1, y1, z1) x (a,b,c)

= (y1*c - b*z1, a*z1 - x1*c, x1*b - a*y1) ∈ R³

Por lo tanto si tomamos en cuenta que "x" representa al producto vectorial y "." al producto punto la ecuación es falsa pues un lado esta en R³ y el otro en R

Ahora si "x" representa el producto punto y escalar por vector igual que el caso anterior:

u*(v*w) = (x1,y1,z1)*((x2,y2,z2)*(x3,y3,z3))

= (x1,y1,z1)*(x2*x3 + y2*y3 + z2*z3)

Si llamamos a = x2*x3 + y2*y3 + z2*z3

= (x1,y1,z1)*(x2*x3 + y2*y3 + z2*z3) = (x1,y1,z1)*a

= (x1*a, y1*a, z1*a) ∈ R³

Nuevamente encontramos un error, la demostración pedida no es cierta: el lado derecho de la igualdad pertenece a R³ y el izquierdo a R