Question

Sean m y n enteros positivos tales que m+n=2015, m es multiplo de 3 y n es multiplo de 7. Halle el resto de dividir 3m+7n entre 21.

Answer 1

sea m = 3p y n = 7q

entonces 3p + 7q = 2015

Hallemos una solución particular, ensayemos
Para p: 
[] significa parte entera
[2015/3] = 671 
cuyo resto es 2

ensayemos con
p = 670:  2010 + 7p =2015 ===> 7p = 5 (descartado)
p = 669 : 2007 + 7p = 2015 ===> 7p = 8(descartado)
p = 668: 2004 + 7p = 2015 ===> 7p = 11(descartado)
p = 667: 2001 + 7p = 2015 ===> 7p = 14 ==> p = 2(queda)

solución particular p = 668 y p = 2

solución general
p = 7k + 667
q = 2 - 3k

entonces 
m = 21k + 2001
n = 14 - 21k

entonces para que m y n sean positivos tenemos

21k + 2001 > 0 y 14 - 21k > 0
$k\geq 96$ y $k\leq 0$

$k\in[-96,0]$

ahora hallemos 3m + 7n = -84k + 6101

-84k + 6101 = 6101 mod 21

[6101/21] = 290 con resto 11

respuesta 11