Question

Sean los vectores: AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ (2, –2, –3) y ⃑⃑A⃑⃑⃑⃑⃑⃗ (2, 0, 3). Hallar la proyección del vector 2AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗ sobre el vector 3⃑⃑A⃑⃑⃑⃑⃑⃗. ​

Answer 1

La proyección del vector 2AB sobre el vector 3A es:

$P_{2AB,3A}=(-\frac{20 }{13}, 0, -\frac{30 }{13})$

¿Qué es la proyección de un vector sobre otro?

Es la imagen de la magnitud de un vector sobre el otro. Se calcula la proyección mediante la siguiente fórmula:

$P_{u,v}=\frac{\bar{u}.\bar{v}}{[v]^{2} }.\bar{v}$

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = |V| Cos(α)

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

El módulo es la raíz cuadrada de la suma de la diferencia del cuadrado de los puntos final e inicial.

| V | = √[(x₂ - x₁)²+(y₂ - y₁)²]

¿Cuál es la proyección del vector 2AB sobre el vector 3A?

Construir los vectores;

2AB = 2(2, -2, -3)

2AB = (4, -4, -6)

3A = 3(2, 0, 3)

3A = (6, 0, 9)

Producto escalar:

2AB · 3A = (4)(6) + (-4)(0) + (-6)(9)

2AB · 3A = 24 + 0 - 54

2AB · 3A = - 30

Módulo cuadrado del vector 3A;

| 3A |² = √[(6)²+(0)²+(9)²]²

| 3A |² = 36 +0+81

| 3A |² = 117

Siendo;

$P_{2AB,3A}=\frac{\bar{2AB}.\bar{3A} }{[3A]^{2} }.\bar{3A}$

Sustituir;

$P_{2AB,3A}=\frac{-30 }{117}.(6, 0, 9)$

$P_{2AB,3A}=(-\frac{20 }{13}, 0, -\frac{30 }{13})$

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