Sean los sucesos A={2;4;6}. B={1;3;5}. C={3;6}. en el lanzamiento de un dado. Determina la unión e intersección en cada caso.
a) A U B = { }
b) A U C = { }
c) A ∩ C = { }
d) B ∩ C = { }
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
espero k te sirve
Explicación paso a paso:
a) {}
b) {6}
c){}
d){3}
Explicación paso a paso:
Consideremos dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad con probabilidades \quad P(A) \quad y \quad P(B), respectivamente. Entonces, tenemos que la probabilidad de su unión, \quad A \cup B, está dada por
(1) \begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{equation*}
.
Esto nos da dos casos importantes a considerar. Cuando \quad A \cap B = \emptyset \quad y cuando \quad A \cap B \neq \emptyset.
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
Decimos que dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles cuando contienen al menos un evento elemental en común. En otras palabras, si ambos consideran al menos un mismo resultado.
Cuando dos eventos \quad A \quad y \quad B \quad son compatibles, su intersección no es vacía (es distinta del conjunto vacío, \quad \emptyset). Esto es
\displaystyle A \cap B \neq \emptyset.
En este caso, como la intersección no es vacía, y sus elementos (resultado que considera) pertenecen al espacio muestral, se tiene que \quad P(A \cap B) \neq 0. Así, consideramos la ecuación (1) para calcular la probabilidad de \quad A \cup B.
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) .
Ejemplo
Consideremos el experimento de lanzar un dado y los siguientes eventos:
Que al lanzar el dado el número sea un múltiplo de tres, \quad A = \{3, 6\}.
Que al lanzar el dado caiga en el número \quad 6, \quad B = \{6\}.
Notemos que \quad A \cap B = \{ 6 \} \neq \emptyset, por lo tanto, son conjuntos compatibles. Además, tenemos que \quad P(A) = \frac{2}{6} \quad y \quad P(B) = P(A \cap B) = \frac{1}{6}. Aplicando la fórmula de la ecuación (1), tenemos que
\begin{align*} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\ &= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{6}\\ &= \frac{2}{6} \end{align*}