Question

Sean los puntos A(k,k,0);B(2,2k,2);C(7,3,k) los tres vértices de un triángulo ABC. Determine el valor dek para que el triángulo sea rectángulo en B

Answer 1

Respuesta:

$+-\sqrt{3}$

Explicación paso a paso:

Halla AB BC CA

AB = (2-K), K, 2

BC= 5, (3-2K), K-2

AC= (7-K), (3-K), K

||AB´2||+||BC´2||=||CA´2||

REEMPLAZA

4-4K+K'2 +K´2 +4+25 +9-12K+4K´2 +K´2-4K+4= 49-14K+K´2+ 9-6K+K´2+K´2

7K´2-20K+46=3K´2-20K+58

4K´2-12=0

K= +- RAIZ DE TRES

Answer 2

Consideremos los vectores v1 y v2 que conforman los catetos del triangulo. Estos vectores vienen dados por:

• v1 = B - A = (2,2k,2) - (k,k,0) = (2-k, k, 2)
• v2 = B -C = (2,2k,2) - (7,3,k) = (-5,2k-3,2-k)

Para que exista un ángulo recto en B, se debe cumplir que el producto interno entre ambos vectores sea igual a cero.

      <v1, v2> = <(2-k, k, 2) , (-5,2k-3,2-k) > = -5(2-k) +k(2k-3) + 2(2-k) = 0

La expresión anterior es equivalente a:

                $2k^{2} -3k-2k +5k -10 +4 =0 \Rightarrow 2k^{2} - 6 = 0 \Rightarrow k = \pm \sqrt{3}$

Así vemos que los valores de k que hacen que el triangulo ABC sea rectángulo en B es k = $\sqrt{3}$

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