Question

Sean los puntos
A(1; –2;3); B = (2; -1; 5
yC=(-3; 2; 4) tres
vértices consecutivos del
paralelogramo ABCD.
a) Determine el vértice D.
b) Determine el área del
paralelogramo ABCD.

Answer 1

El vértice faltante del paralelogramo es D(-4,1,2) y el área del mismo es $\sqrt{194}$.

¿Como hallar el cuarto vértice del paralelogramo?

Los puntos A, B y C comparten el mismo plano, si ellos son vértices consecutivos del paralelogramo, podemos formar el vector v con origen en el punto B y extremo en el punto C:

$v=(x_C-x_B,y_C-y_B,z_C-z_B)=(-3-2,2-(-1),4-5)\\\\v=(-5,3,-1)$

Para encontrar el punto D, que es el vértice que falta del paralelogramo, podemos sumar este vector al punto A(1,-2,3), ya que el lado AD es paralelo al lado BC representado por el vector v:

$D=A+v=(1,-2,3)+(-5,3,-1)=(-4,1,2)$

¿Cuál es el área del paralelogramo?

Para hallar el área del paralelogramo tendremos que hallar el vector w, con origen en A y extremo en B:

$w=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=(2-1,-1-(-2),5-3)=(1,1,2)$

El área será igual al área del producto vectorial entre los vectores v y w:

$v\times w=(-5,3,-1)\times (1,1,2)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-5&3&-1\\1&1&2\end{array}\right]\\\\v\times w=(3.2-1(-1),-(-5.2-1(-1)),-5.1-1.3)=(7,9,-8)\\\\||v\times w||=\sqrt{7^2+9^2+(-8)^2}=\sqrt{194}$

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#SPJ1