Question

Sean los puntos A (1, 1, 1), B (2, 2, 2) y C (1, 3, 3). Hallar un vector perpendicular al plano que contiene los tres puntos.

Answer 1

Respuesta:El vector perpendicular al plano que contiene los puntos A, B y  C  es  V = 0i - 2j + 2k

Explicación paso a paso: Se determina el vector AB del plano:

AB = (2-1)i + (2-1)j + (2-1)k = i + j + k

Se determina el vector AC  del plano:

AC  = (1-1)i + (3-1)j + (3-1)k = 0i + 2j + 2k

Ahora, para calcular el vector V perpendicular al plano que contiene los puntos A, B y C, se calcula el producto vectorial AB x AC:

V = AB x AC

V  = i         j         k

      1         1        1

      0        2        2

V = [1.2  -  1.2]i - [1.2  -  1.0]j + [1.2  -  1.0]k  = 0i - 2j  + 2k

Answer 2

El vector perpendicular al plano que contiene a los tres puntos A, B y C es:

N = 0i - 2j + 2k

¿Qué es un vector?

Es un segmento de recta que tiene las siguientes características por tener módulo, dirección y sentido. Se obtiene de la diferencia de dos puntos o por el producto de su módulo y ángulo.

V = P₂ - P₁

o

V = |V| ∠α ⇒ V = |V| Cos(α); |V| Sen(α)

¿Cómo se calcula es el producto escalar y vectorial?

El producto escalar de dos vectores es la combinación del producto de los módulos de estos con el ángulo que forman.

u • v = |u| • |v| Cos(α)

o

u • v = (x₁)(x₂) + (y₁)(y₂)

El producto vectorial, el producto entre dos vectores que genera un tercer vector.

u × v = |u| • |v| Sen(α)

o

$uxv=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{array}\right]$

¿Cuál es el vector perpendicular al plano que contiene los tres puntos?

El vector normal del plano es aquel que es perpendicular a dicho plano.

Al tener tres puntos contenidos en el plano, la normal se obtiene del producto vectorial.

AB × AC = N

Siendo;

AB = (2-1; 2-1; 2-1) = (1, 1, 1)

AC = (1-1; 3-1; 3-1) = (0, 2, 2)

Sustituir;

$ABxAC=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&1\\0&2&2\end{array}\right]$

AB × AC = i(2-2) - j(2-0) + k(2-0)

AB × AC = 0i - 2j + 2k

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