Question

Sean los puntos A(0,70°) y B(1,π) en coordenadas polares, dos de los vértices de un triángulo equilátero. Determinar las coordenadas cartesianas del tercer vértice

Answer 1

Los puntos que forman un triángulo equilátero junto con A y B son $(-\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{4}})$ y $(-\frac{1}{2},-\sqrt{\frac{3}{4}})$.

¿Cuál es el tercer punto para formar el triángulo equilátero?

Si el primer punto en coordenadas polares es (0,70°), en coordenadas cartesianas el mismo es (0,0), porque, al ser la distancia al origen igual a cero, el punto coincide con el origen, en cuanto al otro punto, sus coordenadas son (-1,0), porque la distancia al origen es cero y el ángulo respecto del eje horizontal positivo es $\pi$.

Para formar el triángulo equilátero tenemos que encontrar un punto cuya distancia a esos dos sea 1 (ya que la distancia entre los dos puntos es 1):

$\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=1= > x^2+y^2=1\\\sqrt{(x-(-1))^2+(y-0)^2}=1= > (x+1)^2+y^2=1$

Podemos aplicar igualación despejando una de las variables para hallar la otra:

$x^2+y^2=1= > y=\sqrt{1-x^2}\\(x+1)^2+y^2=1= > y=\sqrt{1-(x+1)^2}\\\\\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-(x+1)^2}\\\\1-x^2=1-(x+1)^2\\\\1-x^2=1-(x^2+2x+1)\\\\1-x^2=1-x^2-2x-1\\\\2x-1=0\\x=\frac{1}{2}$

La ordenada del punto es:

$x^2+y^2=1= > x=\sqrt{1-y^2}\\(x+1)^2+y^2=1= > x=\sqrt{1-y^2}-1\\\\\sqrt{1-y^2}=-1+\sqrt{1-y^2}\\\\1-y^2=(-1+\sqrt{1-y^2})^2\\\\1-y^2=1-2\sqrt{1-y^2}+1-y^2\\\\0=1-2\sqrt{1-y^2}\\\\2\sqrt{1-y^2}=1\\\\y=\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}=\ñ\sqrt{\frac{3}{4}}$

Con lo cual existen dos puntos que cumplen la condición planteada.

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