Question

Sean A₁, A₂,..., Aₙ subconjuntos de un conjunto U.Probar que:

( A₁ ∩...∩ Aₙ)' = A₁' U A₂' U...U Aₙ'

' significa complemento

Ayuda

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Principio de inducción matemática

Como dice el titulo, vamos a usar inducción para resolver el ejercicio, recordemos que nos decía este principio

• Caso base: Supongamos que se cumple para el primer natural, es decir para n= 1

• Hipótesis inductiva: Ahora podemos suponer que se va a cumplir para un valor mas alejado, es decir para un "k" determinado,  n= k

• Tesis inductiva: Si comprobamos que es valido para k + 1, entonces la proposición se cumple para todo natural, n= k + 1

Antes de resolver el ejercicio, recordemos una de las leyes mas importantes en Teoría de Conjuntos

Leyes de Morgan

• ( A U B )'=  A' ∩ B'

• ( A ∩ B)'= A' U B'

Vamos al ejercicio

( A₁ ∩...∩ Aₙ)' = A₁' U A₂' U...U Aₙ'  

Caso base,  n= 1

(A₁ ∩...∩ A₁)'=   A₁' U...U A₁'

A₁' = A₁'       Se cumple

Hipótesis inductiva: supongamos que se cumple para n= k

(A₁ ∩ A₂ ∩...∩ Aₖ)' =  A₁' U A₂ U...U Aₖ'

Tesis inductiva: Debemos demostrar para n= k + 1

(A₁ ∩ A₂ ∩...∩ Aₖ₊₁  )'= A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁

[( A₁ ∩ A₂ ∩...∩ Aₖ) ∩ Aₖ₊₁ ]' = A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁  

Usando Ley de Morgan en el lado izquierdo, tenemos:

(A₁ ∩ A₂ ∩...∩ Aₖ)' U A'ₖ₊₁  =  A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁  

Por hipótesis de inducción:

(A₁ ∩ A₂ ∩...∩ Aₖ)' =  A₁' U A₂ U...U Aₖ'

A₁' U A₂' U...U Aₖ' U A'ₖ₊₁  =    A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁  

Lo cual implica que:

A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁   =    A₁' U A₂' U...U A'ₖ₊₁    Q.E.D

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Saludoss