Sean A = {x∈ℝ/−2 < x ⩽ 10 } y B = {x∈ℝ/ 1 ⩽ x < 25 } Expresa dichos conjuntos mediante intervalos y calcula la unión, la intersección y la diferencia de uno con el otro.
Respuestas a la pregunta
Tenemos que los conjuntos expresados en forma de intervalo es:
A = x/ x ∈ [1.5,∞)
B = x/ x ∈ (-3,-1)
AUB = (-3,-1) U [1.5,∞)
A ∩ B = ∅
A - B = [1.5,∞)
B - A = (-3,-1)
A' = (-∞,1.5)
B'= (-∞,-3] U [-1,∞)
En efecto se cumplen las leyes de Morgan que son:
(A∩B)' = A' U B'
(AUB)' = A' ∩ B'
A={x∈ℝ /x+1x−1⩾2} = {x∈ℝ /2x−1 ⩾2 } = {x∈ℝ /2x⩾3} = {x∈ℝ /x⩾3/2 = 1.5}
A = x/ x ∈ [1.5,∞)
B={x∈ℝ / x²+4x+3<0}= {x∈ℝ / (x+3)*(x+1) <0}
Vemos el signo en cada intervalo:
Signo de: -∞ -3 -1 ∞
(x+3) - + +
(x+1) - - +
(x+3)*(x+1) + - +
Por lo tanto como debe ser negativo:
B = x/ x ∈ (-3,-1)
La unión:
AUB = [1.5,∞) U (-3,-1) = (-3,-1) U [1.5,∞)
Intersección:
A ∩ B = [1.5,∞) ∩ (-3,-1) = ∅
Diferencia:
A - B = [1.5,∞) - (-3,-1) = [1.5,∞)
B - A = (-3,-1) - [1.5,∞) = (-3,-1)
Los complementos:
A' = [1.5,∞)'= (-∞,1.5)
B'= (-3,-1)' = (-∞,-3] U [-1,∞)
Leyes de Morgan:
(A∩B)' = A' U B'
(A∩B)' son los reales
A' U B' = (-∞,1.5) U (-∞,-3] U [-1,∞) = (-∞,1.5) U [-1,∞) = los reales.
(AUB)' = A' ∩ B'
(AUB)' = ((-3,-1) U [1.5,∞))' = (-∞,-3] U [-1, 1.5)
A' ∩ B' = (-∞,1.5) ∩ ((-∞,-3] U [-1,∞)) = ((-∞,1.5) ∩ (-∞,-3]) U ((-∞,1.5) ∩ [-1,∞))
= (-∞,-3] U [-1, 1.5)