Question

Sean A, B matrices simétricas. Verifica que AB es simétrica. Para el efecto, calcula AB y luego BtAt ​.

Answer 1

Considerando que A y B son matrices simétricas de la forma:

$A =\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x_1&y&z\\y&x_{2&u\\z&u&x_{3}\end{array}\right]$

$B =\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}\right]=B =\left[\begin{array}{ccc}b_{1}&P&Q\\P&b_{2}&R\\Q&R&b_{3}\end{array}\right]$

El producto de C = AxB es igual a:

C₁₁ = x₁*b₁ + y*P+ z*Q

C₁₂ = x₁*P + y*b₂ + z*R

C₁₃ = x₁*Q + y*R + z*b₃

C₂₁ = y*b₁ + x₂*P + u*Q

C₂₂ = y*P + x₂*b₂ + u*R

C₂₃ = y*Q + x₂*R + u*b₃

C₃₁ = z*b₁ + u*P + x₃*Q

C₃₂ = z*P + u*b₂ + x₃*R

C₃₃ = z*Q + u*R + x₃*b₃

Comparando:

C₁₂ = x₁*P + y*b₂ + z*R

C₂₁ = y*b₁ + x₂*P + u*Q

C₁₂ ≠ C₂₁

La matriz C no es simétrica.

La traspuesta de una matriz simétrica es la misma matriz por lo que:

$A^T = A$

$B^T = B$

El producto de $B^T*A^T = C^T$

Entonces $C^T$ es:

C₁₁ = x₁*b₁ + y*P+ z*Q

C₁₂ = y*b₁ + x₂*P + u*Q

C₁₃ = z*b₁ + u*P + x₃*Q

C₂₁ = x₁*P + y*b₂ + z*R

C₂₂ = y*P + x₂*b₂ + u*R

C₂₃ = z*P + u*b₂ + x₃*R

C₃₁ = x₁*Q + y*R + z*b₃

C₃₂ = y*Q + x₂*R + u*b₃

C₃₃ = z*Q + u*R + x₃*b₃

 

Answer 2

Respuesta:

sean a y b matrices simetricas verifica q ab es simetrica para el efecto calcula