Question

Sea un semicírculo con centro O, diámetro AB, BC tangente en B, BE y AD cuerdas que se intersecan en F y A-F-D bisectriz de ángulo BAE. Demuestre que BC = BF y FD = DC​

Answer 1

Hola,,!! , Veamos

                Congruencia de triángulos

Existen varios casos de congruencia de triángulos esencialmente en este problema solo necesitaremos el caso LLA  que solamente se dará siempre y cuando el ángulo esté opuesto a lado mayor de dicho triángulo

NOTAS

• Toda cuerda interceptada con otra y a la vez con el arco de circunferencia esta cuerdas forman un ángulo de 90°
• La bisectriz de un ángulo biseca al ángulo en su mitad
• por condiciones del problema deducimos que A-F-D-C

$\mathbb{EJEMPLO:}$

(De la imagen adjunta)

• Se trazan las cuerdas AE y BE que formaran un ángulo recto
• luego se traza BD que necesariamente deb ser perpendicular a AC
• Como AC es una bisectriz entonces ∡FBD es α
• El arco DB es 2α por lo que trae como concecuencia que ∡DBC=α
• Cuando se vea una perpendicular con dos ángulos bisecados por la misma automáticamente se trata de un triángulo isósceles
• con lo anterior quedaría demostrado que  BC = BF y FD = DC​

Un cordial saludo.