Question

Sea un cuadrado de 8 cm de lado.Uniendo los puntos medios se obtiene otro cuadrado inscrito en el anterior si repetimos este proceso obtenemos una progresion de infinitos cuadrados .Comprobar que las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica y calcular la suma de todas las áreas

Answer 1

Si para un cuadrado de 8 cm de lado se unen los puntos medios se obtiene otro cuadrado inscrito en el anterior y si repetimos este proceso obtenemos una progresion de infinitos cuadrados y a su vez las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica, entonces:

Para las áreas: A

An = 64*(1/4)^(n-1) , Con lo que se comprueba que las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica

Además, para la suma de todas las áreas:

∑ desde n= 1 hasta n= ∞

∑An = ∑(64*(1/4)^(n-1))

Por definición:

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que el elemento siguiente se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión.

Según:

An = A1*r^(n-1)

Luego, hallemos primeros los primeros lados y las áreas que se generan como consecuencia de la progresión ( dada por los siguiente: si para un cuadrado de 8 cm de lado se unen los puntos medios se obtiene otro cuadrado inscrito en el anterior si repetimos este proceso obtenemos una progresion de infinitos cuadrados y a su vez las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica):

Lados (cm)                                         Areas (cm^2)

8                                                                  64

8/2 = 4                                                         16

4/2 = 2                                                          4

2/2 = 1                                                           1

1/2 = 0,5                                                  0,25

0,5/2 = 0,25                                           0,125

Para obtener la razón de una progresión geométrica solo se divide un término cualquiera entre el término anterior, es decir:

r = An / (A(n - 1)), consideremos los primeros terminos de la progresión de áreas:

r =  16/64

r = 1/4

Luego,

La progresión de las áreas es:

An = A1*(1/4)^(n-1)  

A1: 64

An = 64*(1/4)^(n-1) , Con lo que se comprueba que las áreas de los infinitos cuadrados forman una progresión geométrica

La suma de todas las áreas es:

Considerando:

∑ desde n= 1 hasta n= ∞

∑An = ∑(64*(1/4)^(n-1))