Question

Sea

$J = \oint_C\:F.dr$

Donde $F(x,y,z) = (xy,yz,x^2)\:y\:C$ es el límite orientado de la superficie que consta de la parte del cilindro $z = 9 - y^2$ en el primer octante que está delimitado por los planos coordinados y el plano $x = 2$.

Usando el teorema de Stokes, podemos decir que lo correcto es:

Alternativa 1: $|J| = 12$

Alternativa 2: $|J| = 16$

Alternativa 3: $|J| = 20$

Alternativa 4: $|J| = 24$

Alternativa 5: $|J| = 42$

Answer 1

El teorema de Stokes plantea que:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {S} }$

Calculemos el rotacional del campo vectorial F como:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}{\vec {i}}&{vec {j}}&{\vec {k}}\\&&\\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\&&\\xy&yz&x^2\end{matrix}}\right|} = -y\vec {i}-2x\vec {j}-x\vec {k}$

Y el diferencial para una superficie de la forma z=9-y² es:

$d\mathbf{S} =-\left( -\dfrac{\partial z}{\partial x}\vec{i} -\dfrac{\partial z}{\partial y}\vec{j}+\vec{k\right)dxdz} = (-2y\vec{j} -\vec{k})dxdz$

Tomando el producto punto que plantea el teorema de Stokes:

$(\nabla\times \mathbf{F})\cdot d \mathbf{S} = (4xy+x)dxdy$

Luego integrando sobre la superficie en el primer cuadrante donde 0≤x≤2 y   0≤y≤3:

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {S} }\\{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}=\int _0^3\:\int _0^2\:\left(4xy+x\right)dxdy}\\{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} = \int _0^3\left(2+8y\right)dy}\\{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =42}$

La alternativa 5 es la correcta.