Question

Sea R una relación en NxN definida por: ((a,b ), (c,d )) ↔ a +d =b + c ¿Es R de equivalencia?

Answer 1

Respuesta:

SI es una relacion de EQUIVALENCIA

Explicación paso a paso:

Verifiquemos si cumple las propiedades:

1) Propiedad reflexiva

Sea $(a,b)$ cualquiera tenemos que $a+b=b+a$  por tanto  se cumple

$\forall(a,b)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}\hspace{0.25cm} (a,b)R(a,b)$

2)Propiedad simetrica

Sea $(a,b)$ y $(c,d)$  cualesquiera,por un lado tenemos que  si

$(a,b)R(c,d) \leftrightarrow a+d=b+c$   entonces

$(c,d)R(a,b)\leftrightarrow c+b=d+a$ es cierto, por tanto se verifica la simetrica

3) Propiedad transitiva

Sea $(a,b)$, $(c,d)$ y $(e,f)$  cualesquiera

Si $(a,b)R(c,d)$  entonces $a+d=c+b$ y si

$(c,d)R(e,f)$ entonces $c+f=d+e$

Luego  

$a+d+f=c+b+f\\a+d+f=b+d+e\\a+f=d+e$

Es decir   $(a,b)R(e,f)$

Se cumplen las tres propiedades asi que es  relacion de equivalencia