Question

Sea p el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles que compone la mitad de un cuadrado. Encuentre la fórmula de la función del área del cuadrado, en términos de p (perímetro).

Con base en la información del enunciado anterior, realice lo siguiente:


¿Cuál es la variable independiente de este modelo?

¿Cuál es la fórmula que propone para la solución del problema presentado?. Detalle el procedimiento, teoremas y operaciones que realizó.

¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyo perímetro es de 8 metros y cuál será el área de un cuadrado que conforman 2 de estos triángulos?

¿Cuál sería el lado de un triángulo rectángulo isósceles cuya área es 40 m2?

Answer 1

Respuesta:

modelo del área del cuadrado:

$(\frac{p}{2+\sqrt{2}})^{2}$

Explicación paso a paso:

Hola!

Primero resolveré el primer enunciado, contestando también la pregunta:

¿Cuál es la fórmula que propone para la solución del problema presentado?

Como estamos hablando de un triángulo rectángulo isósceles que compone la mitad de un cuadrado esto nos facilita varías cosas, una de ellas es que al cumplir que es la mitad de un cuadrado, esto quiere decir que dos de sus catetos son iguales. Si aplicamos teorema de pitagoras:

$a^2+b^2=c^2$

y $a^2=b^2$, entonces sustituimos:

$a^2+a^2=c^2$ [ec.1]

Sabemos que el perímetro es la suma de todos sus lados:

a+b+c=P [ec.2]

despejamos c de ec.1:

$c=\sqrt{2a^{2}} \\c=a\sqrt{2}$ [ec.3]

sustituimos ec.3 en ec.2:

$2a+a\sqrt{2} =p\\a=\frac{p}{2+\sqrt{2} }$  [ec.4]

Ahora, sabemos que el área de un triángulo es

A triángulo=(b*h)/2

y como queremos obtener el área del cuadrado, es multiplicar esta área por 2, entonces

A cuadrado= 2(b*h)/2=b*h

sustituyendo:

A cuadrado= a*a = a^2 [ec.5]

para que nos quede en términos de p, sustituimos ec.4 en ec.5

Formula propuesta

A cuadrado= $(\frac{p}{2+\sqrt{2}})^{2}$}  [ec. final]

¿Cuál es la variable independiente en este modelo?

En este caso la variable independiente es el perímetro, ya que su valor no depende de otra variable como es el caso del área

¿cuál sería el lado de un triángulo rectángulo isósceles cuya área es de 40m^2

De los primeros pasos sabemos

A triángulo=(b*h)/2 =   $a^2$/2

sustituimos:

$\sqrt{A tri *2}=a$

a=$4\sqrt{5}$

cada lado mide:

a=$4\sqrt{5}$

¿Cuál es el área de un tríangulo rectángulo isósceles cuyo p= 8m y cuál el área del cuadrado?

Para obtener el área del cuadrado sustituimos en la ecuación, y nos queda:

A cuadrado =$(\frac{8}{2+\sqrt{2}})^{2}$

A cuadrado =$5.49m^{2}$

y la del triangulo, dividimos lo anterior entre 2:

A triángulo=$2.745m^{2}$