Question

Sea p(5,-12) un punto de la circunferencia x² y²=169

a) ¿cuál es la pendiente de la recta que une a P con 0(0,0)?
b) encuentra la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en P.
c) sea Q(x,y) otro punto que se encuentra en el cuarto cuadrante y forma parte de la misma circunstancia. calcular la pendiente m, de la recta que une a P con Q en términos de x.
d) calcular lim m ¿cómo se relaciona este número con la respuesta al apartado b?
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Answer 1

La pendiente de la recta que une a P con el origen es $-\frac{12}{5}$, la recta tangente en P es 5x-12y-169=0, la pendiente de la recta entre P y un punto Q perteneciente a la circunferencia es $\frac{\sqrt{169-x^2}+12}{x-5}$, y cuando el punto P se acerca a Q tiende a la pendiente de la recta tangente.

Explicación paso a paso:

La pendiente de la recta que une a P con el origen, es simplemente la relación entre los incrementos de X y de Y entre ese punto y el origen:

$m=\frac{-12-0}{5-0}=-\frac{12}{5}$

La pendiente de la recta que pasa por P es la derivada de la función en ese punto:

$x^2+y^2=169\\\\2x+2y.y'=0\\\\y'=-\frac{x}{y}=-\frac{5}{-12}=\frac{5}{12}$

Como la recta tiene que pasar por el punto P, reemplazamos sus coordenadas en la ecuación punto-pendiente:

$y=\frac{5}{12}.x+b\\\\-12=\frac{5}{12}.5+b\\\\b=-\frac{25}{12}-12=-\frac{169}{12}\\\\y=\frac{5}{12}x-\frac{169}{12}\\\\12y=5x-169\\\\5x-12y-169=0$

Como en la circunferencia es $y=\sqrt{169-x^2}$, las coordenadas de cualquier punto Q que pertenezca a la circunferencia serán $(x,\sqrt{169-x^2})$. La pendiente de la recta que une a Q con P es:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\sqrt{169-x^2}-(-12)}{x-5}=\frac{\sqrt{169-x^2}+12}{x-5}$

El límite de la función cuando la distancia entre Q y P tiende a cero, o sea cuando el punto Q se acerca a P es:

$\lim_{x \to 5} \frac{\sqrt{169-x^2}+12}{x-5}=L'H \lim_{x \to 5} \frac{\frac{-2x}{2\sqrt{169-x^2}}}{1}=\frac{x}{\sqrt{169-x^2}}=\frac{5}{\sqrt{169-5^2}}=\frac{5}{12}$

Igual a la pendiente de la recta tangente, lo cual tiene lógica porque en el límite los puntos P y Q son coincidentes.