Question

Sea la siguiente función G(x,y,z)=(22 cos⁡(x)yz^2)i+(10e^x sen(y) z^3)j-(2xyz^(-1))k. Determine en los puntos (1,1,1):

Divergencia de la función

Rotacional de la función

Answer 1

El rotor de la función propuesta es $\nabla\times f(x,y,z)=(-\frac{2x}{z}-30z^2e^xsen(y);44cos(x)yz+\frac{2y}{z};10e^xsen(y)z^3-22cos(x)z^2)$ mientras que la divergencia es $\nabla.f(x,y,z)=-22sen(x).yz^2+10e^xcos(y).z^3+\frac{2xy}{z^2}$

Explicación paso a paso:

Tanto en la divergencia como en el rotor de una función vectorial, interviene el operador nabla cuya expresión general es:

$\nabla=(\frac{d}{dx};\frac{d}{dy};\frac{d}{dz})$

Así la divergencia es el producto escalar entre este vector y la función en cuestión lo cual nos da la suma de las derivadas parciales:

$\nabla.f(x,y,z)=(\frac{d}{dx};\frac{d}{dy};\frac{d}{dz})(f_x,f_y,f_z)=\frac{df_x}{dx}+\frac{df_y}{dy}+\frac{df_z}{dz}\\\\\nabla.f(x,y,z)=-22sen(x).yz^2+10e^xcos(y).z^3+\frac{2xy}{z^2}$

Esta es la divergencia de la función y es siempre un campo escalar, ahora la rotacional es el producto vectorial entre la función y el operador nabla:

$\nabla\times f(x,y,z)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\\frac{d}{dx}&\frac{d}{dy}&\frac{d}{dz}\\f_x&f_y&f_z\end{array}\right] \\\\\nabla\times f(x,y,z)=(\frac{df_z}{dy}-\frac{df_y}{dz};\frac{df_x}{dz}-\frac{df_z}{dx};\frac{df_y}{dx}-\frac{df_x}{dy})$

Ahora hallando todas las derivadas que nos solicitan queda:

$\frac{df_z}{dy}=-\frac{2x}{z}\\\frac{df_y}{dz}=30z^2e^xsen(y)\\\frac{df_x}{dz}=44cos(x)yz\\\frac{df_z}{dx}=-\frac{2y}{z}\\\frac{df_y}{dx}=10e^xsen(y)z^3\\\frac{df_x}{dy}=22cos(x)z^2\\\\\nabla\times f(x,y,z)=(-\frac{2x}{z}-30z^2e^xsen(y);44cos(x)yz+\frac{2y}{z};10e^xsen(y)z^3-22cos(x)z^2)$

Siendo esta la expresión del rotor