Estadística y Cálculo, pregunta formulada por Loree16, hace 1 año

Sea la función racional (en donde el numerador es la función cuadratica g (x) y el dominador de la función de segundo grado h (x) )

F(x) = x^2-x-12/x^2-2x-8


1)Determine las raíces de g (x) y su dominio
2)determine el vértice de h (x) y su rango
3)determine el rango y dominio de la función f (x)
4) expliqué si se trata de una función continua o discontinua
5) en su caso, explique la existencia de una asintota de la función
6) cual es el límite de la función cuando x tiende a -2?

Respuestas a la pregunta

Contestado por Omega314
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Sea F(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}-x-12}{x^{2}-2x-8} entonces:

g(x)=x^{2}-x-12  y  h(x)=x^{2}-2x-8

1) Las raíces de la función g son aquellos puntos donde g(x)=0. Es decir, x^{2}-x-12 = 0. Para resolver esta ecuación se aplica la fórmula resolvente. Esta nos da dos soluciones: -3 y 4. Por lo tanto, las raíces son x=-3 y x=4. La función es polinómica, y el dominio de todas las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales. Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales.

2)El vértice de h es el punto mínimo o máximo de la función. La fórmula para hallar el valor x del vértice de una cuadrática es \frac{-b}{2a}, que en este caso equivale a 4/2 = 2. Para hallar el valor y del vértice, se reemplaza el x encontrado en la fórmula original: y=2^{2}-2*2-8=4-4-8=-8. Por tanto, el vértice es (2;-8). El rango de una función es el conjunto de valores de y que asume dicha función. En este caso, la función tiene un mínimo en y=-8 (es el vértice que acabamos de encontrar) y luego asciende infinitamente. Entonces, el rango es [-8;+∞).

3) Siendo F una función racional, el único punto donde no está definida es donde h(x) vale cero. Aplicamos la resolvente y así averiguamos que la función h vale cero en x=-2 y x=4. Por lo tanto, el dominio de la función F es el conjunto de los reales, excepto por esos dos puntos. Dicho de otra forma, el dominio es (-∞;-2)∪(-2;4)∪(4;+∞). El rango es (-∞;-1)∪(-1;1.167)∪(1.167;+∞).

4) Decimos que la función es discontinua porque existen puntos dentro del límite inferior y superior del dominio donde la función no está definida.

5) Existe una asíntota horizontal en y=1 porque \lim_{x \to \infty} F(x) = 1. Existe una asíntota vertical en x=-2 porque \lim_{x \to -2} F(x) = +-\infty.

6) Los límites laterales difieren, como se expresó en el inciso anterior (uno tiende al infinito positivo y otro al infinito negativo). Por lo tanto, el límite no existe.

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