Question

Sea la función cuya gráfica y expresión analítica se
muestran a en la Figura 3.16.
Y
2+
O
Figura 3.16
2x - 3 si x < 2
f(x) =
-4 si x=2
-x+ 2 si x > 2
¿Qué se puede afirmar del límite de la función cuan-
do x se aproxima a 2?​

Answer 1

Funciones. Definiciones básicas. Operaciones con funciones

3.1.1. Definiciones

Una función real de (una) variable real es una aplicación f : A → B donde A y B son subconjuntos

de R, es decir, es una regla que hace corresponder a cada x ∈ A un único elemento f(x) ∈ B, que se

llama imagen de x mediante f .

Se llama expresión analítica de una función a la fórmula matemática que nos indica las operaciones que debemos realizar con el elemento x ∈ A para calcular f(x).

El conjunto A sobre el que la función está definida recibe el nombre de dominio de f . Cuando no

se especifique el dominio de una función se entenderá que éste es el subconjunto más grande de

R en el que la expresión analítica que define a la función tiene sentido. Lo denotamos Dom(f).

Se llama imagen o recorrido de f al conjunto, que representaremos por f(A) o por Im(f), cuyos

elementos son las imágenes de los puntos de A mediante f , es decir:

f(A) = Im(f) = {y ∈ R : existe x ∈ A con f(x) = y}.

Una manera práctica de decidir si un punto y está o no en Im(f) consiste en intentar resolver la

ecuación f(x) = y, siendo x la incógnita de la ecuación. Si somos capaces de despejar la x en

función de y con x ∈ A, entonces y ∈ Im(f); de lo contrario y ∈/ Im(f).

Se llama gráfica de f a la curva y = f(x) del plano R

2

, es decir:

G(f) = {(x, y) ∈ R

2

: x ∈ A, y = f(x)} = {(x, f(x)) ∈ R

2

: x ∈ A}.

Normalmente representaremos los puntos de A sobre el eje x (o eje de abcisas) y sus imágenes

f(x) en el eje y (o eje de ordenadas). El punto (x0, f(x0)) se obtiene entonces como la intersección de la recta vertical {x = x0} y la recta horizontal {y = f(x0)}. La gráfica de f es la curva

en el plano que se forma cuando unimos todos estos puntos. Nótese que esta curva corta a cada

línea vertical a lo sumo una vez por la definición de función. Además, un número y0 pertenecerá

a la imagen de f si la recta horizontal {y = y0} corta a la gráfica de f al menos una vez.

  ∧ω∧