Question

Sea L la recta que pasa por los puntos A= (3,-1,1) y B= (4,3,2).
Dar una ecuación de L y determinar de L que tiene tercera coordenada igual a 5.
Ayudaa es para mañanaa!

Answer 1

La ecuación de la recta que pasa por (3, -1, 1) y (4, 3, 2) es L = (λ+3, 4λ -1, λ +1) donde λ es un parámetro.

Además, el punto que pertenece a la recta cuya tercera coordenada es 5 es (7, 15, 5)

Para poder determinar la recta que pasa por dos puntos A y B, simplemente debemos crear un vector que vaya de A hasta B y tomar el punto A de la siguiente manera

$A(x_0, y_0, z_0); B(x_1, y_1, z_1)\\\\\vec{AB} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)\\\\L = A + \lambda \vec{AB}$

Donde λ es factor paramétrico

Si se quiere determinar cada una de las componentes de las ecuaciones de manera paramétrica, estas serían las siguientes

$x_l =  (x_1 - x_0)\lambda + x_0\\\\y_l = (y_1 - y_0)\lambda  + y_0\\\\z_l = (z_1 - z_0)\lambda  + z_0$

Sabiendo todo esto, podemos construir una recta que pase por (3, -1, 1) y (4, 3, 2)

Primero debemos determinar el vector que va desde (3, -1, 1) hasta (4, 3, 2)

, el cual es

AB = <4-3, 3 - (-1), 2 - 1> = <1, 4, 1>

AB = <1, 4, 1>

Por lo que las recta que pasa por (3, -1, 1) y (4, 3, 2) es

$L = (3, -1, 1) + \lambda (1, 4, 1)  \\\\L = (\lambda + 3, 4\lambda - 1, \lambda + 1)$

Si queremos hallar el punto perteneciente a la recta cuando su tercera coordenada es 5, simplemente despejamos λ de esta ecuación

5 = λ + 1 ⇒ λ = 5 - 1 = 4

Y lo sustituimos en las demás ecuaciones

x = λ + 3 ⇒ x = 4 + 3 = 7

y = 4λ - 1 ⇒ y = 4*4 - 1 = 15

Por lo tanto el punto que pertenece a la recta cuya tercera coordenada es 5 es (7, 15,5)