Sea f(x)= -x^2 +2x+15. Encontrar la función cuadrática g que satisface simultáneamente g tiene los mismos ceros que f y la imagen es [-8, + infinito).
Respuestas a la pregunta
La función cuadrática g(x) = y = (¹/₂)x² - x - ¹⁵/₂ satisface simultáneamente tener los mismos ceros que f y la imagen es [-8, + ∞).
¿Qué es una función cuadrática?
Una función cuadrática es una expresión de la forma:
ax² + bx + c = y
La gráfica de una función como esta es una parábola de eje vertical, cuya ecuación canónica es:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
- (h, k) = son las coordenadas del vértice.
- p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
¿Qué son los ceros de la función cuadrática?
En general, los ceros de una función son los puntos donde su gráfica intersecta al eje de las x, es decir, los puntos de coordenada y = 0.
Para hallarlos, se sustituye el valor y = 0 en la ecuación y se hallan los valores de x correspondientes.
En el caso estudio, se indica que g tiene los mismos ceros que f, por tanto, vamos a factorizar f para hallar los ceros de ambas funciones:
f(x) = -x² + 2x + 15
Sustituimos el valor f(x) = y = 0 y multiplicamos todo por -1 para queel coeficiente del término cuadrático quede positivo
x² - 2x - 15 = 0
Factorizamos aplicando la técnica de binomios con término semejante:
x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)
Los ceros de f(x) son: (-3, 0) y (5, 0)
Estos son los mismos ceros de g, o sea, la función g pasa por estos dos puntos.
Sabemos que la función g es una parábola con sentido positivo de abertura y que su vértice es el punto (h, -8), ya que la imágen de g es el intervalo [-8, + ∞).
Con la información obtenida, sustituimos en la ecuación canónica y construimos un sistema de ecuaciones:
Parábola de eje vertical: h = ¿? k = -8 pasa por (-3, 0) y (5, 0)
[-3 - h]² = 4p[0 - (-8)]
[5 - h]² = 4p[0 - (-8)]
Resolviendo
h² + 6h + 9 = 32p
h² - 10h + 25 = 32p
Aplicamos el método de igualación, ya que los términos del lado derecho de ambas ecuaciones son iguales
h² + 6h + 9 = h² - 10h + 25 ⇒ 16h = 16 ⇒ h = 1
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones
(1)² + 6(1) + 9 = 32p ⇒ p = ¹/₂
Finalmente
Parábola de eje vertical: h = 1 k = -8 p = ¹/₂
g(x): [x - 1]² = 4(¹/₂)[y - (-8)] ⇒ [x - 1]² = 2[y + 8] ⇒
g(x) = y = (¹/₂)x² - x - ¹⁵/₂
La función cuadrática g(x) = y = (¹/₂)x² - x - ¹⁵/₂ satisface simultáneamente tener los mismos ceros que f y la imagen es [-8, + ∞).
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