Question

Sea f(x) = ax2 + bx + c una función cuadrática. Si los puntos (-2,3), (0,1) y (1,6) están en la gráfica de f y si r y s son las raíces de f, hallar el valor de r2 + s2

Answer 1

Explicación paso a paso:

Para facilitar las cosas, llamaré $y$ a f(x). Entonces:

$y=ax^2+bx+c$

Primero, debemos sustituir los valores de los puntos en esta ecuación, para encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$.

Para (-2,3):

$(3) = a(-2)^2+b(-2)+c$

$3=4a-2b+c$  ===> Ecuación 1

Para (0,1):

$(1) = a(0)^2+b(0)+c$

$1 = c$

Para (1,6):

$(6) = a(1)^2+b(1)+c$

$6 = a+b+c$  ===> Ecuación 2

Sustituyendo el valor de $c$ en las ecuaciones 1 y 2, tenemos:

$4a - 2b + 1 = 3$

$4a - 2b = 3 - 1$

$4a - 2b = 2$   ===> Ecuación 1

$a + b + 1 = 6$

$a + b = 6-1$

$a+b=5$   ===> Ecuación 2

Multiplicamos por (2) la ecuación 2 y la sumamos a la ecuación 1:

$4a - 2b = 2$

$2a+2b=10$

El resultado de esa suma es:

$6a = 12$

$a = 12 / 6$

$a = 2$

Sustituyendo $a$ en la ecuación 2 y despejando $b$, tenemos:

$a+b=5\\(2)+b=5\\b=5-2$

$b=3$

Entonces, con estos valores, ya tenemos cuál es la función general:

$y=ax^2+bx+c$

$y=2x^2+3x+1$

Para encontrar las raíces $r$ y $s$, igualamos la función a cero (0) y factorizamos:

$2x^2+3x+1=0$

$(2x+1)(x+1)=0$

2x + 1 = 0                     x + 1 = 0

2x = -1                          x = -1

x = -1/2

Por lo tanto, las raíces son r = - 1/2 y s = -1.

Entonces la solución del problema es:

$r^2+s^2=(-1/2)^2+(-1)^2=1/4+1$

$r^2+s^2=5/4$  ===> SOLUCIÓN