Question

Sea f una funci´on con Dom(f) = R

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

              Función Par e Impar

Sea "f" una función, si se cumple que: f(-x)= f(x) para todo x en su dominio, entonces "f" es una función par

Geométricamente una función es par si está es simétrica respecto al eje "y", es decir, si colocamos un "espejo" sobre el eje "y", entonces la parte izquierda será igual a la parte derecha

Sea "f" una función, si se cumple que:  f(-x)= -f(x) para cada x en su dominio, entonces "f" es una función impar

Geométricamente está será simétrica respecto al origen, esto quiere decir, que presenta una simetría rotacional, ósea, si logramos rotar a la gráfica con un cierto ángulo, dicha gráfica va  a coincidir con la gráfica original

Veamos:

$A(x)= \frac{1}{2}[f(x) + f(-x)]$

$B(x)= \frac{1}{2} [f(x)-f(-x)}$

Donde:

Dom(f)= R

A) Debemos probar que:  A(-x)= A(x)

$A(-x)= \frac{1}{2} [f(-x)+f(-(-x))]$

$A(-x)= \frac{1}{2} [f(-x) + f(x)]$

$A(-x)= \frac{1}{2} [f(x)+f(-x)]$

Claramente A(-x)= A(x) , entonces A es una función par

b)  Se debe probar que B(-x)= -B(x)

$-B(x)= -\frac{1}{2} [f(x)-f(-x)]$  

$-B(x)= -\frac{1}{2} f(x) + \frac{1}{2} f(-x)$

$-B(x)= \frac{1}{2} f(-x) - \frac{1}{2} f(x)$

Por otro lado:

$B(-x)= \frac{1}{2} [f(-x) - f(-(-x))]$

$B(-x)= \frac{1}{2} [f(-x)-f(x)]$

$B(-x)= \frac{1}{2} f(-x) - \frac{1}{2} f(x)$

 

Como B(-x)= -B(x)  ,  La función B es impar

C)  Solo debemos sumar las 2 funciones

$A(x)+B(x)= \frac{1}{2} [f(x)+f(-x)] + \frac{1}{2} [f(x)-f(-x)]$

$A(x)+B(x)= \frac{1}{2} f(x)+\frac{1}{2} f(-x) + \frac{1}{2} f(x)-\frac{1}{2} f(-x)$

Cancelo términos opuestos, nos queda:

$A(x)+B(x)= \frac{1}{2} f(x)+\frac{1}{2} f(x)$

$A(x)+B(x)= \frac{2}{2} f(x)$

$A(x)+B(x)= f(x)$

Te dejo un ejercicio similar

• https://brainly.lat/tarea/52203609

Saludoss