Question

Sea f: R → R la función definida como f(x) = { 4x + 3 si x ≤ 0 2x2 + 3 si x > 0 De su definición se desprende que:

Answer 1

Haber, tienes la función por partes, dado por,

 $\displaystyle f(x)= \left \{ {{4x+3}\hspace{7mm}Si:x \leq 0 \atop {2x^{2}+3\hspace{5mm}Si:x\ \textgreater \ 0}} \right.$

entonces te pide verificar si se cumple alguna de las opciones mencionadas, entonces, vamos con la primera,

Nos pide verificar que,

$f(x^{2} + 1) = 2(x^{2} + 1)^{2} + 3,\hspace{5mm}\textrm{para }x\in\Re$

vien, lo que debemos tener cuidado, es en saber que signo tiene "x^{2}+1", para ver a que parte de la función pertence, entonces, supongamos que equis sea negativo entonces equis al cuadrado se hace positivo y si le sumamos 1, sigue siendo positivio, ahora supongamos que equis sea positivos, entonces un número positivo al cuadrado siempre es positivo, y si le sumamos 1, sigue siendo positivo, entonces

El número x^{2}+1 estás de acuerdo que nunca vas a poder enular eso, es decir $x^{2}+1=0\\x^{2}=-1$ y no existen raíces de número negativos, entonces, podemos decir que  $x^{2}+1\ \textgreater \ 0$ entonces la parte de función que admite valores positivos está dado por.....???¡¡... la segunda parte ¿verdad?, entonces

$f(x^{2}+1)=2(x^{2}+1)^{2}+3$

por lo tanto es verdadero¡¡

Vamos con la segunda,

f es una función par: si queremos que f(x) sea par, se debe cumplir que,

$f(-x)=f(x)$ entonces hagamos f(-x),

$\displaystyle f(-x)=\left \{ {{4(-x)+3}\hspace{7mm}Si:-x \leq 0 \atop {2(-x)^{2}+3\hspace{5mm}Si:-x\ \textgreater \ 0}} \right.=\left \{ {{-4x+3}\hspace{4mm}Si:x \geq 0 \atop {2x^{2}+3\hspace{5mm}Si:x\ \textless \ 0}} \right.\neq f(x)$

por lo tanto no es par. entonces la segunda proposición es FALSA¡ de una vez podemos ver si es impar, entonces debemos verificar que f(-x)=-f(x), pero viendo el resultado interior, es obvio que no lo es, porque si extraígo el signo negativo de toda la función, la segunda parte si es f(x), pero la primera parte se daña...entonces Tampoco es IMPAR¡

La siguinte nos dice: La función f no tiene inversa,

Para que f posea inversa, debe cumplirse dos cosas: inyectividad, y sobreyectivadad, es decir biyectividad....para demostrar la inyectividad, puedes usar el gráfico te sale más fácil...pero a mi me gusta lo divertido, entonces vamos a demostrar por definición

Si f es inyectiva, entonces supongamos que  $f(x_{1})=f(x_{2})$  entonces debemos demostrar que  $x_{1}=x_{2}$

Pero ¿cómo hacer eso en una función por partes?...fácil...solo vamos revisando en cada intervalo del dominio la inyectivdad...entonces,

En el intervalo  $x\ \textgreater \ 0$, entonces, empezamos por suponer que es verdad que,

$f(x_{1})=f(x_{2})$

como ya sabemos el intervalo en el que estamos trabajando, tenemos su correspondiente función entonces,

$2(x_{1})^{2}+3=2(x_{2})^{2}+3\\2(x_{1})^{2}=2(x_{1})^{2}\\(x_{1})^{2}=(x_{1})^{2}\\\sqrt{(x_{1})^{2}}=\sqrt{(x_{2})^{2}}\\|x_{1}|=|x_{2}|$

pero como el dominio en donde estamos trabajando éstos dos números siempre son positivos¡¡..entonces

$x_{1}=x_{2}$

por lo tanto la función a quí SI es inyectiva...ahora vamos con el otro intervalo, entonces,

$f(x_{1})=f(x_{2})\\4x_{1}+3=4x_{2}+3\\4x_{1}=4x_{2}\\x_{1}=x_{2}$

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