Question

sea el vector A=2 kilometros en "X" y B=4 metros en "Y"​

Answer 1

Respuesta:Problema 1.

Se tienen los vectores ~a = (3, −1), ~b = (−2, −2), ~c = (−3, −1). Se le pide calcular:

1. ~a −~b

2. ~b − ~a

3. ~a + ~c

Soluci´on:

~a −~b = (3, −1) − (−2, −2) = (5, 1)

~b − ~a = (−2, −2) − (3, −1) = (−5, −1)

~a + ~c = (3, −1) + (−3, −1) = (0, −2)

Problema 2.

Sabiendo que cos(a) =

1

4

y que 270◦ < a < 360◦

calcule las dem´as razones trigonom´etricas.

Soluci´on:

2

Imediatamente podemos calcular la secante, esta viene dada por el rec´ıproco del coseno

sec(a) = 4

De la ecuaci´on sin2

(a) + cos2

(a) = 1 despejamos el valor de sin(a)

sin(a) = −

s

1 −

1

2

4

2

= −

√

15

4

Notamos que cos(a) es positivo y sin(a) es negativo porque nos ubicamos en el cuarto cuadrante.

Luego, el rec´ıproco del seno corresponde a la cosecante

cosec(a) = −

4

√

15

= −

4

√

15

15

Y la tangente es el cuociente entre el seno y el coseno

tan(a) = −

√

15

4

1

4

= −

√

15

Y la cotangente es el rec´ıproco de la tangente

cot(a) = −

1

√

15

= −

√

15

15

Problema 3.

Exprese el vector ~m = (1, 2, 3) como una combinaci´on lineal de ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 1, 0) y ~w = (0, 1, 1).

Soluci´on:

(1, 2, 3) = x(1, 0, 1) + y(1, 1, 0) + z(0, 1, 1)

(1, 2, 3) = (x + y, y + z, x + z)

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 1

y + z = 2

x + z = 3

Resolviendo llegamos a:

x = 1, y = 0, z = 2

Finalmente,

~m = ~u + 2 ~w

3

Problema 4.

Ju´an y Pedro ven desde las puertas de sus casa una torre, bajo ´angulos de 45◦ y 60◦

. La distancia entre sus

casas es de 126 m y la torre est´a situada entre sus casas. Halla la altura de la torre.

Soluci´on:

Para resolver el problema hacemos un dibujo con los datos, en donde h es la altura de la torre y x es la distancia

de uno de los observadores al pie de la torre.

Notamos que al trazar la altura de la torre se forman dos tri´angulos rect´angulos.

Planteamos las siguientes ecuaciones:

tg(45◦

) =

h

126 − x

−→ h = (126 − x) tg(45◦

)

tg(60◦

) =

h

x

−→ h = x tg(60◦

)

Tenemos dos ecuaciones y dos inc´ognitas. Se resuelve y se obtiene:

x = 46, 15m

h = 79, 83m

Problema 5.

Sean los puntos P = (0, 2) y Q = (−3, 5). Encuentre el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.

Soluci´on:

El vector que va de P a Q es

−−→P Q y se calcula como:

−−→P Q = Q − P = (−3 − 0, 5 − 2) = (−3, 3)

4

El vector que va de Q a P es −−→QP y se calcula como:

−−→QP = P − Q = (0 + 3, 2 − 5) = (3, −3)

Problema 6.

Convierta los siguientes valores de radianes a grados sexagesimales

1) 3 rad

2)

2π

5

rad

3)

3π

10

rad

Soluci´on:

Tenemos que entender que π rad=180◦

, con esto utilizamos la regla de tres para calcular el valor equivalente α

en grados sexagesimales

5

1) 3 rad

π

3

=

180◦

α

−→ α = 171, 877◦

2)

2π

5

rad

2π

5

=

2 × 180◦

5

−→ α = 72◦

3)

3π

10

rad

3π

10

=

3 × 180◦

10

−→ α = 54◦

Problema 7.

Demuestre que los vectores ~u = (1, 0, 1), ~v = (1, 1, 0) y ~w = (0, 1, 1) son linealmente independientes.

Soluci´on:

Para demostrar lo pedido planteamos la siguiente ecuaci´on:

(0, 0, 0) = a(1, 0, 1) + b(1, 1, 0) + c(0, 1, 1)

Nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

a + b = 0

b + c = 0

a + c = 0

La ´unica soluci´on que existe es la trivial:

a = 0, b = 0, c = 0

Por lo tanto, los vectores son linealmente independientes.

Problema 8.

El ancho de una arco de f´utbol es de 4 m y su altura 2,4 m. Para lanzar un penal la pelota se sit´ua a 10,8 m

de la porter´ıa y a igual distancia de los postes.

a) Calcule el ´angulo m´aximo de elevaci´on que puede llevar la pelota para que pase por debajo del larguero.

b) Calcule el ´angulo m´aximo barrido horizontalmente para poder meter gol (la pelota pasa entre los postes).

Soluci´on:

a) La situaci´on puede representarse mediante un tri´angulo rect´angulo en donde BC es la altura del arco y AC

la distancia a la cual se lanza el penal.

6

Lo que se nos pide se traduce en calcular el ´angulo A. Luego,

tg(A) =

BC

AC =

2, 4

10, 8

= 0, 222 −→ A = 12, 53◦

b) Nuevamente podemos representar el problema gr´aficamente, considerando el ancho del arco y el punto A

del cual se lanza el penal.

Se nos pide calcular el ´angulo A. Dividimos el tri´angulo en su mitad por dos tri´angulos rect´angulos iguales.

Luego, la raz´on trigonom´etrica de la tangente nos indica:

tg

A

2

!

=

2

10, 8

−→

A

2

= 10, 49◦ −→ A = 20, 98◦

Problema 9.

Dados los puntos O = (0, 0), P = (−1, 1), A = (3, 3) y B = (2, 4) calcule el vector ~v que va de O a P y el

vector ~w que va de A a B. Explique la relaci´on entr

Explicación: