Sea el conjunto: P = {c; a; r; 1; i; t; a), determina: (n(P)]?
a) 36
b) 25
c) 49
d) 16
e) 64
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Cualquier colecci´on de objetos o individuos se denomina conjunto. En el contexto de la
matem´atica, el t´ermino conjunto no tiene una definici´on sino que es un concepto primitivo.
Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los n´umeros naturales, de los televisores de la ciudad
de C´ordoba y de los peces en los oc´eanos. Nuestro objetivo ser´a estudiar aquellos conjuntos que
est´an relacionados con el campo de la matem´atica, especialmente los conjuntos num´ericos. La
teor´ıa de conjuntos es fundamental en matem´atica y de suma importancia en inform´atica, donde
encuentra aplicaciones en ´areas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de
programaci´on.
1. Conjuntos y pertenencia
Un conjunto est´a integrado por objetos y los objetos que integran el conjunto se llaman
elementos de ese conjunto. Ejemplos de conjuntos son los siguientes:
El conjunto de los n´umeros enteros.
El conjunto de los n´umeros naturales mayores que 5 y menores que 9.
El conjunto formado por los estudiantes de primer a˜no de la Fa.M.A.F.
El conjunto formado por un punto P en el plano y las rectas que pasan por ´el.
Un conjunto sin elementos se denomina conjunto vac´ıo.
En general usaremos letras may´usculas para designar a los conjuntos y letras min´usculas
para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a ∈ A y se lee a
pertenece a A o a es un elemento de A. Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a 6∈ A
y se lee a no pertenece a A o a no es elemento de A. Los s´ımbolos N, Z, Q y R servir´an para
denotar a los siguientes conjuntos:
N: el conjunto de los n´umeros naturales.
Z: el conjunto de los n´umeros enteros.
Q: el conjunto de los n´umeros racionales.
R: el conjunto de los n´umeros reales.
Definir un conjunto es describir de una manera precisa, sin ambig¨uedades, cu´ales son los
elementos de dicho conjunto. Existen distintas maneras de definir un conjunto. La forma m´as
7
8 1. TEOR´IA BASICA DE CONJUNTOS ´
simple, pero que no siempre es posible, es por extension´ , es decir listando todos los elementos
del conjunto separados por comas y encerrando todo entre llaves:
A = {1, 2, 3, 5, π}, U = {a, e, i, o, u}, M = {Talleres, Instituto, Belgrano}.
El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los elementos se
consideran una sola vez.
EJEMPLO 1.1. {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto.
En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se usan
los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos faltantes:
EJEMPLO 1.2. B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 2
5}.
Sin embargo esta forma de nombrarlos es siempre ambigua, no puede saberse de antemano
qu´e elementos son los que se han omitido. Por ejemplo, B podr´ıa ser el conjunto de los n´umeros
impares, o podr´ıa ser el conjunto de los n´umeros primos mayores que 2. Del mismo modo, C
podr´ıan ser todos los pares entre 2 y 2
5 o bien todas las potencias de 2 comprendidas en el
intervalo natural [2, 2
5
].
Otra forma de describir un conjunto es por comprension´ , es decir enunciando una propiedad
de los elementos que lo integran:
A = {x | x cumple la propiedad P}.
Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P.
EJEMPLO 1.3. El conjunto
B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3}
est´a formado por todos los n´umeros naturales impares mayores o iguales a 3. En este caso se
trata de un conjunto con un n´umero infinito de elementos, y por lo tanto no podemos definirlo
por extensi´on.
EJEMPLO 1.4. El conjunto
C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 2
6
y x es potencia de 2}
es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se define tambi´en
por extensi´on como
C = {2, 4, 8, 16, 32, 64
Explicación paso a paso: