Question

Sea

Determine:

a) La forma exponencial de

b) La forma trigonométrica de , donde:

c) La forma binómica de

Answer 1

Explicación paso a paso:

Tenemos:

$w=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$

a) Forma binómica

Recordemos que la forma exponencial de un número complejo se basa en el número de Euler (e):  $w=re^{\theta i}$ Donde r es el módulo de w.

Entonces, utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular el módulo:

$|w|=r=\sqrt{a^2+b^2}$ donde $a=-\sqrt{2$ y $b=-\sqrt{2}$

$|w|=r=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$

$|w|=r=2$

Ahora procedemos a calcular el ángulo, debemos tener en cuenta en que cuadrante se ubica nuestro ángulo, en este caso se ubica en el tercer cuadrante:

Consideración: para la forma exponencial el ángulo siempre debe quedar expresado en radianes.

$\theta=tan^{-1}(\frac{b}{a} )$

$\theta=tan^{-1}(\frac{-\sqrt{2} }{-\sqrt{2} } )$

$\theta=tan^{-1}(1)$

$\theta=\frac{5\pi}{4}$

Por lo tanto, la forma exponencial de w es:

$w=2e^{\frac{5\pi}{4}i}$

b) Forma trigonométrica de z, donde z = w^19

Para resolver este inciso debemos pasar w de forma binomica a forma trigonométrica para utilizar el Teorema de Moivre:

$[r(cos\:\theta\:+\:i\:sen\:\theta)]^n=r^n(cos\:n\theta\:+i\:sen\:n\theta)$

donde r es el módulo de w, $\theta$ es el argumento (ángulo) de w y n es el exponente.

Tenemos: $r=2,\: \theta=\frac{5\pi}{4}=225^o\:y\:n=19$

Nota: en este caso por comodidad usaré el ángulo en grados.

$z=2^{19}(cos\:19(225)+i\:sen\:19(225))$

$z=2^{19}(cos\:(4275)+i\:sen\:(4275))$

Notemos que el ángulo excede los 360 grados, por lo tanto, debemos restarle las vueltas que recorre para que el ángulo sea menor o igual a 360, por lo tanto:

$\frac{4275}{360}=11.88$ --> en este caso solo nos interesa la parte entera que es 11

La parte entera nos indica cuantas vueltas a recorrido, luego:

$4275-360*11=315$

Volviendo a la forma trigonométrica:

Respuesta: $z=2^{19}(cos\:(315)+i\:sen\:(315))$

c) Forma binómica de z

Para pasar de forma trigonométrica a forma binómica debemos calcular lo que está entre paréntesis:

$z=2^{19}(cos\:(315)+i\:sen\:(315))$

$z=2^{19}(\frac{1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{\sqrt{2}}i)$

Respuesta: $z=(\frac{2^{19}}{\sqrt{2} } -\frac{2^{19}}{\sqrt{2}}i)$

Te adjunto la gráfica para que cheques el ángulo y además un link (borra todos los guiones) con la tabla de los ángulos acorde a su cuadrante :)