Question

Sea a un número positivo. Encuentre el conjunto solución de la desigual- dad:
√x-a +√x​ < √3a

Answer 1

Respuesta: x  <  (4/3)a

                   x ∈ (-∞ , 4a/3 )

Explicación paso a paso:

√x-a +√x​ < √3a

Al elevar al cuadrado en ambos miembros, resulta:

(√x-a)² + 2√(x-a) √x  +  (√x)²  <  (√3a)²

x - a  +  2√[x(x-a)]  +  x  <  3a

2x  +  2√[x(x-a)]  <  3a + a

2x  +  2√[x(x-a)]  <  4a

Al dividir entre 2, se obtiene:

x  +  √[x(x-a)]  <  2a

√[x(x-a)]   <  2a - x

Al elevar otra vez al cuadrado, obtenemos:

x(x-a)  <  (2a - x)²

x² - ax < 4a² - 4ax  +  x²

-ax  <  4a² - 4ax

-ax + 4ax < 4a²

3ax  <  4a²

Como  a>0, al dividir en ambos miembros entre 3a, resulta:

x  <  4a² / 3a

x  <  (4/3)a

x ∈ (-∞ , 4a/3 )