Question

Sea {aₙ} la sucesión dada por:
aₙ= (-1)ⁿ

A) Dar 3 subsucesiones convergentes de {aₙ} distintas

B) Probar que si {aₙ_j} (se lee: a sub "n" sub "j") es una subsucesión convergente, entonces:

Lim aₙ_j = 1 ó -1
j⇒∞

Answer 1

Una sub-sucesión es una sucesión derivada de otra eliminando algunos elementos sin realizar cambios en el resto de los elementos.

Tres posibles sub-sucesiones de (-1)ⁿ podrían ser:

• $(-1)^{2n}$ Tomamos solo los elementos pares de la sucesión original, resultando en la sucesión constante donde todos sus términos valen 1.
• $(-1)^{2n+1}$ Tomamos solo los elementos Impares de la sucesión original, resultando en la sucesión constante donde todos sus términos valen -1.
• $(-1)^{n+1}$ Desfasamos la sucesión original por un término. Ahora todos los términos que antes valían 1 valen -1 y viceversa.

b)

Si la subsucesión converge, el límite L existe y entonces:

∀ε > 0 existe un M positivo tal que si n > M, entonces $|a_{n_j}- L| < \epsilon$

• Si la sub-sucesión de términos resulta en todos los términos constantes, $a_{n_j} = 1 \text{\ o a_{n_j}=-1 \ \ }\forall n$, entonces los límites son L=1 y L=-1 respectivamente, porque para cualquier épsilon tomado, el valor de $|a_{n_j}- L|$  siempre será cero y por tanto menor que epsilon. Esto es una consecuencia directa de la definición de sucesión convergente.
• Si la subsucesión de términos resulta en términos alternados, la sucesión diverge, ya que no cumple las condiciones de convergencia de una serie alternada, que son: Sus términos decrecen en magnitud y sus términos convergen a cero. Los términos para esta serie son constantes y no convergen a cero ni decrecen.