Sea A = {B | B ∉ B}. Entonces, A ≠ ∅ y ¿A ∈ A o A ∉ A?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1. Repaso sobre la teor´ıa de conjuntos.
Denotaremos por IN al conjunto de los n´umeros naturales y por ZZ al de los enteros.
Dados dos conjuntos A y B decimos que A est´a contenido en B o tambi´en que A es
un subconjunto de B si cada elemento de A es tambi´en un elemento de B, es decir, si
x ∈ A =⇒ x ∈ B. En tal caso escribimos A ⊆ B.
Decimos que los conjuntos A y B son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A. En tal caso escribimos
A = B. Decimos que A est´a contenido estrictamente en B si A ⊆ B y B 6⊆ A, es decir, si
A ⊆ B y A 6= B. En ese caso escribimos A ⊂ B.
Ejemplos.
i) A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
En este caso A ⊆ B pero no vale que B ⊆ A pues 4 ∈ B y 4 ∈/ A. Luego, A est´a contenido
estrictamente en B.
ii) A = {a, b, {3}, 2}, B = {a, b, 3, 2}
En este caso A 6⊆ B pues {3} ∈ A y {3} ∈/ B. Adem´as, B 6⊆ A pues 3 ∈ B y 3 ∈/ A.
iii) ∅ ⊆ A cualquiera sea el conjunto A, donde ∅ denota el conjunto vac´ıo.
iv) A = {a, b, c, d}, B = {b, d, c, a}. En este caso A = B.
Operaciones con conjuntos. Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto dado V ,
al que llamaremos conjunto referencial. Definimos la uni´on, intersecci´on, complemento,
diferencia y diferencia sim´etrica de la siguiente manera:
A ∪ B = {x ∈ V / x ∈ A o x ∈ B} (uni´on)
A ∩ B = {x ∈ V / x ∈ A y x ∈ B} (intersecci´on)
A0 = {x ∈ V / x /∈ A} (complemento respecto del conjunto referencial V )
A − B = {x ∈ V / x ∈ A y x /∈ B} (diferencia)
A4B = (A ∪ B) − (A ∩ B) (diferencia sim´etrica)