se va a fabricar un recipiente cilíndrico sin tapadera para riego que va a contener 1.5 metros cúbicos de agua encuentre las dimensiones que debe tener el recipiente de manera que minimice el contenido
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Respuesta:Para resolver este ejercicio debemos aplicar procesos de optimización. Para ello planteamos la ecuación de volumen y la de área superficial.
1- V = π·r²·h
2- A = 2 π r h + π r²
Ahora, de la ecuación 1, despejaremos la altura y la sustituiremos en la ecuación 2, entonces:
1 = π·r²·h → h = 1/π·r²
Sustituimos en 2:
A = 2 π r (1/π·r²) + π r²
A = 2/r + π r²
A = (2+π r³ ) /r
Derivamos el área respecto al radio y despejamos:
dA/dr = (2π r³ - 2)/r² = 0 → r = 1/∛π ≈ 0.68 m
Por tanto el radio y la altura deben tener un valor de 0.68 m para formar un cilindro de 1 m³ con un costo mínimo.
Explicación paso a paso:
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