Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12000 [ft3] de agua. Si el concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100 por [ft2] y el material para construir la tapa cuesta $200 por pie cuadrado ¿cuáles son las dimensiones de la cisterna que minimizan el costo de su construcción?
Respuestas a la pregunta
Respuesta.
Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente:
C = 100*Al + 200*At
Las ecuaciones para el área son las siguientes:
Al = L*H
At = H*T
El volumen es:
V = L*H*T
Datos:
V = 12000 ft³
Sustituyendo:
12000 = L*H*T
T = 12000/LH
Sustituyendo:
Al = L*H
At = H*12000/LH
At = 12000/L
Sustituyendo:
C = 100*L*H + 200*12000/L
Derivando:
0 = 100H - 2400000/L²
24000 = L²*H
L = 49 ft
Por lo tanto:
H = 25 ft
T = 12 ft
Respuesta:
Las dimensiones de la cisterna son y=30 ft y x=20 ft.
Explicación:
El volumen es igual a 12000 ft.
V=x^2*y
Sustituimos:
12000=x^2*y
x=(12000/y)^(1/2)
El área de la tapa y de la base es:
Ab=x^2
sustituimos:
Ab=12000/y
El área lateral es es:
Al=x*y
sustituimos:
Al=((12000/y)^(1/2))*y
Al=(12000*y)^(1/2)
Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente:
C(x,y) = 100*(4*Al+Ab) + 200*Ab
C(x,y)= 400*Al+100*Ab + 200*Ab
Sustituimos:
C(y) = 400*((12000*y)^(1/2))+100*(12000/y) + 200*(12000/y)
C(y)= 400*((12000*y)^(1/2))+3600000/y
Primera derivada:
C'(y) = 400*(12000/(2*(12000*y)^(1/2)))-3600000/y^2
C'(y) = 2400000/((12000*y)^(1/2)))-3600000/y^2
Igualamos a cero:
0 = 2400000/((12000*y)^(1/2)))-3600000/y
3600000/y^2= 2400000/((12000*y)^(1/2)))
Dividimos para 1200000:
3/2=(y^2)/((12000*y)^(1/2))
9/4=(y^4)/(12000*y)
9/4=(y^3)/(12000)
y=(12000*(9/4))^1/3
y=30 ft
reemplazamos en la función de volumen:
x=(12000/y)^(1/2)
x=(12000/30)^(1/2)
x=20 ft
Explicación: